第三章 刚体力学习题答案.docx

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第三章刚体力学习题答案

第三章刚体力学习题答案

3-1如图3-1示,一轻杆长度为,两端各固定一小球,A球质量为,B球质量为,杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成角时的角加速度.

图3-1

[

解：

系统受外力有三个，即A，B受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用.以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为，故合力矩为

系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和

应用转动定律

有：

解得

3-2计算题3-2图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为,半径为,在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面与物体间的摩擦,设＝50kg,＝200kg,M＝15kg,＝0.1m.

解:

分别以,滑轮为研究对象，受力图如图（b）所示．对,运用牛顿定律，有

①

②

对滑轮运用转动定律，有

③

又，④

联立以上4个方程，得

\

3-3飞轮质量为60kg,半径为0.25m,当转速为1000r/min时,要在5s内令其制动,求制动力,设闸瓦与飞轮间摩擦系数＝,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算,闸杆尺寸如图所示.

解：

以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量，制动前角速度为rad/s，制动时角加速度为-制动时闸瓦对飞轮的压力为，闸瓦与飞轮间的摩擦力，运用转动定律，得

—

则

以闸杆为研究对象，在制动力和飞轮对闸瓦的压力的力矩作用下闸杆保持平衡，两力矩的作用力臂分别为m和＝0-50m，则有

N

3-4设有一均匀圆盘,质量为,半径为,可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动.圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为,若用外力推动它使其角速度达到时,撤去外力,求：

（1）此后圆盘还能继续转动多少时间

（2）上述过程中摩擦力矩所做的功.

·

解：

（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩作用下停止转动-设盘质量密度为，则有

根据转动定律

（2）根据动能定理有

摩擦力的功

/

3-5如题3-6图所示,一匀质细杆质量为,长为,可绕过一端的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下．求：

（1）初始时刻的角加速度；

（2）杆转过角时的角速度.

图3-6

解:

（1）由转动定律，有

∴

（2）由机械能守恒定律，有

∴

3-6固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和,质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连,和则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设＝0.20m,＝0.10m,＝4kg,＝10kg,＝＝2kg,且开始时,离地均为＝2m．求：

（1）柱体转动时的角加速度；

（2）两侧细绳的张力．

、

解:

设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图（如图b）．

（a）图（b）图

（1）,和柱体的运动方程如下：

①

②

③

#

式中

而

由上式求得

（2）由①式

由②式

3-7一风扇转速为900r/min,当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了75转,在此过程中制动力做的功为,求风扇的转动惯量和摩擦力矩.

（

解：

设制动摩擦力矩为，风扇转动惯量为，止动前风扇的角位移，摩擦力矩所做的功为

摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即

kgm

Nm

3-8一质量为、半径为的圆柱体,在倾斜角的粗糙斜面上从距地面高处只滚不滑而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度.

^

解：

在滚动过程中，圆柱体受重力和斜面的摩擦力作用，设圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速率为，则此时质心的平动动能为，与此同时，圆柱体以角速度绕几何中心轴转动，其转动动能为.将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为，由于圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，于是有

式中，代入上式得

即

3-9一个轻质弹簧的倔强系数N/m,它的一端固定,另一端通过一条细绳绕过一个定滑轮和一个质量为＝80g的物体相连,如图所示.定滑轮可看作均匀圆盘,它的质量为＝100g,半径＝0.05m.先用手托住物体,使弹簧处于其自然长度,然后松手.求物体下降＝0.5m时的速度为多大忽略滑轮轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边缘上不打滑.

》

解：

由于只有保守力（弹性力、重力）做功，所以由弹簧、滑轮和物体组成的系统机械能守恒，故有

所以m/s

图3-12

3-10有一质量为、长为的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的质量为的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的速度分别为和,如图示,求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间（已知棒绕O点的转动惯量）.

[

解：

对棒和滑块组成的系统，因为碰撞时间极短，所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于相互间的冲量矩，故可认为合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，且碰撞阶段棒的角位移忽略不计，由角动量守恒得

碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为

由角动量定理得转动过程中

联立以上三式解得：

·

3-11哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝×1010m时的速率是＝×104m·s-1,它离太阳最远时的速率是＝×102m·s-1，这时它离太阳的距离为多少（太阳位于椭圆的一个焦点.）

解:

哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴

3-12平板中央开一小孔,质量为的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为的重物．小球做匀速圆周运动,当半径为时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为的物体,如3-14图．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度和半径为多少

《

图3-14

解:

在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即

①

挂上后，则有

②

]

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．

即

③

联立①、②、③得

3-13如图示,长为的轻杆,两端各固定质量分别为和的小球,杆可绕水平光滑轴在竖直平面内转动,转轴O距两端的距离分别为或.原来静止在竖直位置.今有一质量为的小球,以水平速度与杆下端的小球做对心碰撞,碰后以的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度.

·

图3-13

解：

将杆与两端的小球视为一刚体，水平飞来的小球与刚体视为一系统，在碰撞过程中，外力包括轴O处的作用力和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒-选逆时针转动为正方向，则由角动量守恒得

解得

|

3-14圆盘形飞轮A质量为,半径为,最初以角速度转动,与A共轴的圆盘形飞轮B质量为,半径为,最初静止,如图所示,两飞轮啮合后,以同一速度转动,求及啮合过程中机械能的损失.

：

解：

以两飞轮组成的系统为研究对象，由于运动过程中系统无外力矩作用，角动量守恒，有

得

初始机械能为

啮合后机械能为

则机械能损失为

3-15如图示,一匀质圆盘半径为,质量为,可绕过中心的垂轴O转动.初时盘静止,一质量为的子弹一速度沿与盘半径成的方向击中盘边缘后以速度沿与半径方向成的方向反弹,求盘获得的角速度.

[

图3-15

解：

对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒，即

，初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故

《

末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为，则

故有

可解得：

3-16一人站在一匀质圆板状水平转台的边缘,转台的轴承处的摩擦可忽略不计,人的质量为,转台的质量为10,半径为.最初整个系统是静止的,这人把一质量为的石子水平地沿转台的边缘的切线方向投出,石子的速率为（相对于地面）.求石子投出后转台的角速度与人的线速度.

解：

以人、转台和石子组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，设转台角速度的转向与投出的石子速度方向一致，初始时系统角动量为零，得

人和转台的转动惯量，代入上式后得

（

人的线速度为

其中负号表示转台角速度转向和人的线速度方向与假设方向相反-

3-17一人站在转台上,两臂平举,两手各握一个kg,哑铃距转台轴m,起初转台以rad/s的角速度转动,然后此人放下两臂,使哑铃与轴相距0.2m,设人与转台的转动惯量不变,且kgm,转台与轴间摩擦忽略不计,求转台角速度变为多大整个系统的动能改变了多少

解：

以人、转台和哑铃组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，有

rad/s

动能的增量为

/

＝183J

3-18如3-20图所示,质量为,长为的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动,它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．

（1）设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速的值；

（2）相撞时小球受到多大的冲量

图18

;

解:

（1）设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为，按题意，小球和棒做弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

①

②

上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：

③

由③式得

由①式

④

由②式

《

⑤

所以

求得

（2）相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

`

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

图3-19

3-19如图示,一个转动惯量为,半径为的定滑轮上面绕有细绳,并沿水平方向拉着一个质量为的物体A.现有一质量为的子弹在距转轴的水平方向以速度射入并固定在定滑轮的边缘,使滑轮拖住A在水平面上滑轮.求

（1）子弹射入并固定在滑轮边缘后,滑轮开始转动时的角速度.

（2）若定滑轮拖着物体A刚好转一圈而停止,求物体A与水平面间的摩擦系数（轴上摩擦力忽略不计）.

解：

（1）子弹射入定滑轮前后，子弹、定滑轮及物体A构成的系统角动量守恒

解得

（2）定滑轮转动过程中物体A受的摩擦力所做的功等于系统动能的增量

解得

3-20行星在椭圆轨道上绕太阳运动,太阳质量为,行星质量为,行星在近日点和远日点时离太阳中心的距离分别为和,求行星在轨道上运动的总能量.

|

解：

将行星和太阳视为一个系统，由于只有引力做功，系统机械能守恒，设行星在近日点和远日点时的速率分别为和，有

行星在轨道上运动时，受太阳的万有引力作用，引力的方向始终指向太阳，以太阳为参考点，行星所受力矩为零，故行星对太阳的角动量守恒

行星在轨道上运动时的总能量为

联立以上三式得：

3-21半径为质量为的匀质圆盘水平放置,可绕通过圆盘中心的竖直轴转动.圆盘边缘及处设置了两条圆形轨道,质量都为的两个玩具小车分别沿两轨道反向运行,相对于圆盘的线速度值同为.若圆盘最初静止,求两小车开始转动后圆盘的角速度.

<

图3-21

解：

设两小车和圆盘运动方向如图所示，