北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案.docx
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北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
2017-2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理）参考答案与评分标准2018.4
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
D
B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2
48
注：
第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答题应写出解答步骤。
15.（本题满分13分）
（Ⅰ）
3分
（Ⅱ）
因为函数的单调递增区间为（），
令（），
解得（），
故的单调递增区间为（）13分
16.（本题满分13分）
（Ⅰ）设事件：
从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用表示事件抽取的月份为第月，则
共12个基本事件，
共6个基本事件，
所以，.4分
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，，.
，，
随机变量的分布列为
0
1
2
（Ⅲ）的最大值为，最小值为.13分
17.（本题满分14分）
（Ⅰ）方法1：
设的中点为，连接，.由题意
，，
因为在中，，为的中点
所以，
因为在中，，，
所以
因为，平面
所以平面
因为平面4分
所以平面平面
方法2：
设的中点为，连接，.
因为在中，，为的中点
所以，
因为，，
所以≌≌
所以
所以
因为，平面
所以平面
因为平面4分
所以平面平面
方法3：
设的中点为，连接，因为在中，，
所以
设的中点，连接，及.
因为在中，，为的中点
所以.
因为在中，，为的中点
所以.
因为，平面
所以平面
因为平面
所以
因为，平面
所以平面
因为平面4分
所以平面平面
（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则
，，，，
由平面，故平面的法向量为
由，
设平面的法向量为，则
由得：
令，得，，即
由二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为9分
（Ⅲ）设，，则
令
得
即，μ是关于λ的单调递增函数，
当时，，
所以14分
18.（本题满分13分）
（Ⅰ）当时，
故
令，得
故的单调递增区间为4分
（Ⅱ）方法1：
令
则
由，
故存在，
故当时，；当时，
↗
极大值
↘
故
故，解得13分
故的值为.
（Ⅱ）方法2：
的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，
等价于的最大值为.
，
令，得.
↗
极大值
↘
故的最大值为，即.13分
（19）（本小题14分）
（Ⅰ）由题意，
解得：
，，
故椭圆的标准方程为5分
（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2，－1），直线l的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.
方法1：
设，，则
直线，
直线
故，
由直线，设直线（）
联立方程，
当时，，
14分
方法2：
设，，直线和的斜率分别为和
由，设直线（）
联立方程，
当时，，
故直线和直线的斜率和为零
故
故
故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2
故14分
20.（本题满分13分）
（Ⅰ）是“数表”，其“值”为3，不是“数表”.3分
（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，
①若，则；
②若，则；
③若，，则一方面
，
另一方面
；
矛盾.即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.8分
（Ⅲ）方法1：
对任意的由，，，…，组成的行列的数表.
定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即
（其中，）
显然有：
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②数表的第行的元素，即为数表的第列的元素
③数表的第列的元素，即为数表的第行的元素
④若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.
定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即
（其中，）
显然有
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值
特别地，对由，，，…，组成的行列的数表
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值
即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.
记，则，即数表与数表的“值”之和为，
故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的“值”之和为，
故的数学期望.13分
方法2：
所有可能的取值为.
记中使得的数表的个数记作，，则
.
则，则
，
故，.13分
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