第五讲较复杂行程问题.docx
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第五讲较复杂行程问题
第五讲较复杂行程问题
知识要点：
复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：
路程、速度和时间。
只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。
它常用的基本数量关系式是：
速度×时间=路程。
但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。
人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。
1从同一地点背向而行
速度和×相遇时间=环形跑道的周长
②从同一地点同向而行
速度差×追及时间=环形跑道的周长
例题：
例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按
逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。
求甲追上乙需多少时间？
思路提示：
先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。
例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。
8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。
然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？
思路提示：
先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。
爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。
例3.甲用40秒钟跑完跑道一圈。
乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。
问乙跑一圈要几秒钟？
思路提示：
甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。
例4.甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A地同时出发，分别跑到B、C、D三地，然后立即往回跑，跑回A地再分别跑到B、C、D，再立刻跑回A地，这样不停地来回跑，B与A相距千米，C与A相距千米，D与A相距千米。
甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。
问：
若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需用多少小时？
思路提示：
分别求出甲、乙、丙往返一次的时间，然后求出他们所用时间的最小公倍数，就可以求出同时回到出发点的时间。
例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，他乘车去公司，结果比平时早到5分钟。
问李经理什么时间遇上汽车？
汽车速度是步行速度的几倍？
思路提示：
如图，A点代表家，B点代表公司，设李经理在C点上车，从图中看出，汽车比平时
少行两个AC，知汽车行一个AC的时间：
5÷2=2.5（分钟），汽车比平时早2.5分钟接到李经理，
即可解决问题。
例6.甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，每一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快地到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接在途中步行的乙班学生，已知甲、乙班步行速度相同，汽车的速度是步行的7倍，那么汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达机场？
思路提示：
如图，A点为学校，B点为飞机场，设甲班乘车到C点下车步行BC，乙班步行AD，
DB乘车。
图中看到DC+DB=7AD，即DC=3BC=3AD，因此，求出AD的长度就容易了。
例7.某城市东西路与南北路交汇于路口A。
甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。
甲向北，乙向东同时匀速行走，4分钟后两人距A的距离相等，再继续行走24分钟后，两人距A的距离恰又相等。
问甲、乙两人的速度各是多少？
思路提示：
如图：
4分钟，甲到C，乙到D。
AC=AD，4分钟共行AB，可求甲乙速度和，再走24分钟，甲到E，乙到F，可知AE=AF，甲28分行BE，乙28分行AF，28分甲比乙多行AB，可求出甲乙速度差，即可求出甲、乙的速度。
例8．小刚与小勇进行50米赛跑，结果当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是什么？
思路提示：
先求出第一次小刚和小勇的速度比5：
4，再解决第二次，小刚和小勇跑的路程，就
可求出小勇离终点的距离。
练习：
1.A、B各以一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。
A的速度是每分钟180米，B的速度是每分钟220米。
两人从同一地点同时出发，多少分钟后B第二次追上A？
2.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。
乙车比甲车每小时多行全程的，两车每小时共行全程的。
他们在途中第一次相遇后继续前进，甲车到达B地，乙车到达A地后立即返回，他们在途中又一次相遇。
如果两次相遇的地点相隔40千米，AB两地相距多少千米？
3.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可以比原定时间提前24分到达；如果以原速行驶80千米后，再将速度提高，那么可以提前10分到达乙地。
甲、乙两地相距多少千米？
4.科技站组织100名学生到离站32千米的标本园地采集标本。
只有一辆每次能载50人的汽车，已知同学们步行的速度为每小时4千米。
汽车载人时车速为每小时40千米，空车每小时50千米。
为了使全部同学尽快到达目的地，他们采用了步行与乘车相结合的办法。
问到达目的地最短的时间是多少小时？
5.A、B两地相距20千米，一个班学生45人，由A地去B地。
现有一辆马车，车速是人步行速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A地先将第一批9名学生送往B地，其余学生同时步行向B地前进；车到B地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B地，余下的学生继续向B地前进……这样多次往返，当全体学生都到达B地时，马车共行多少千米？
（学生上、下时间不计）
6．甲班与乙班学生同时从学校从发去某公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。
这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班与乙班学生需要步行的距离之比是多少？
6.甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处；如果两人各自速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？
7.小刚和小明进行100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。
当小刚跑了90米时，小明距终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
8.汽车每天早上从幼儿园出发，8点整到达居民区车站接小朋友上幼儿园。
有一天小朋友们7点40分从居民区车站出发走向幼儿园。
在路上遇到汽车后上车到幼儿园，结果比平常提早了4分钟到达。
汽车的速度是小朋友步行速度的几倍？
9.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。
这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达。
问：
汽车速度是劳模步行速度的几倍？
11.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发，绕池边沿
A→B→C→D→A的方向行走。
甲的速度是每分钟走50米，乙的速度是每分钟46米。
则甲、乙第一次在同一边上行走时，是发生在出后的第多少分钟？
12.在40米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，反向起跑。
甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次在起跑点相遇时，他们已在途中相遇了多少次？
例题解答及练习答案
例1.100÷（5-4）+10×4=140（秒）
注意：
甲跑到500米处，正好追上乙，不需计停留时间。
例2.小明与爸爸的速度比为1：
3，
4÷（4+8）=1：
3
4-4×=（千米）（小明前8分走的路）
÷8=（千米）（小明的速度）
8÷=24（分）（小明走8千米用的时间）
24+8=32（分），即这时是8点32分。
例3.1÷（1÷=24（秒）
或15÷（1-）=15÷24（秒）
例4.甲往返一次需×2÷3.5=（时）
乙往返一次需×2÷4=（时）
丙往返一次需×2÷5=（时）
[,,]=[]=6（时）
例5.5÷2=2.5（分）上午7点27.5分遇到李经理,李经理7点出门,7点27.5分遇到汽车,27.5分走的路汽车只需行2.5分.所以27.5÷2.5=11（倍）.汽车速度是步行速度的11倍.
例6.AD=CB.汽车把甲送到C,回到D再到B,甲走完CB,汽车的速度是步行速度的7倍,DC的长度是CB的（7-1）÷2=3（倍）
CB=24÷（1+3+1）=4.8（千米）
例7.560÷4=140（米/分）（甲乙速度和）
560÷28=20（米/分）（甲乙速度差）
（140+20）÷2=80（米/分）（甲速）
80-20=60（米/分）（乙速）
例8.50:
40=5:
4（小刚与小勇速度比）
第二次小刚跑50+10=60（米）
小勇跑60×=48（米）
50-48=2（米）
练习
1.500×2÷（220-180）=25（分）
2.甲速：
（）÷2=；乙速：
（）÷2=
第二次相遇时间1÷（）=小时，甲行全程的：
第二次乙行全程:
.
全程为：
40÷（×2）=180千米.
3.1:
（1+25%）=4:
5,24÷（5-4）×5=120分.
1:
（1+）=3:
4,120÷4×（4-3）=30分
80÷=120千米
4.4:
40=1:
10,4:
50=1:
12.5,如图,用实线代表行车,用虚线代表步行
9=份
32÷（1+9++1）=千米
所用时间为:
×（1+9）÷40+×（1+）÷4=1小时
5.人速:
车速=1:
3,画图为,实线代表行车,虚线代表步行
45÷9=5次
20×（1+）=56千米
6.设全程为S，甲班步行的路程为S1,乙班步行的路程为S2，根据两班在路上的时间相等可得下面的方程：
化简得：
→=15：
11
方法二：
如下图所示，A为乙班的上车地点，B为甲班的下车地点。
由于48÷3=16，48÷4=12，所以AB间的路程是乙班步行路程的（16-1）÷2=7.5（倍）,AB间的路程也是甲班步行路程的（12-1）÷2=5.5（倍）.7.5:
5.5=15:
11
7.乙的速度是甲的,乙跑100米,甲可跑100÷=125（米）,所以,甲应后移125-100=25（米）.
这道题也可用列方程的方法求解.
由题意知,甲跑100米时,乙跑80米,设乙跑（100-80）米时,甲跑x米,则
8.当小刚跑了90米时,小明跑了100-25=75（米）
于是,小明的速度是小刚速度的75÷90=.
所以当小刚到达终点时,小明跑了100×（米）
即小明距离终点还有100-=16（米）
9.汽车比平常提早4分钟到达幼儿园,说明汽车比平常提早2分钟,即7点58分,接到小朋友.汽车2分钟的路程小朋友走了18分钟,所以汽车的速度是小朋友步行速度的18÷2=9（倍）.
10.我们先画一个图如下,其中A是学校,B是工厂,C是汽车和劳模相遇的地点.
汽车从A到B往返需1小时,即从A到B需30分钟,汽车从A到C往返用了40分钟,即从A到C需20分钟,从而从C到B需30-20=10（分钟）.因为汽车到达C点是2点20分,所以劳模从B到C用时:
60+20=80（分钟）
从而汽车的速度和劳模步行的速度比为:
（80÷10）=8
11.1600÷4÷（50-46）=100（秒）
100×50÷400=12（个边长）……200（米）
100+200÷50=104（分）
12.4：
6=2：
3，40÷（3-2）×（2+3）=200（米）
200÷（4+6）÷[40÷
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