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0.15

8.75

3.8

0.05

5.25

7.87

3.65

-0.15

7.10

6.00

8.00

3.90

4.10

7.89

0.10

6.25

8.15

0.40

9.10

4.20

0.45

6.90

8.86

0.35

6.80

8.90

0.30

8.87

0.50

9.26

9.00

7.95

7.65

-0.10

7.27

3.55

8.50

4.25

9.21

8.27

5.75

7.67

5.80

7.93

0.55

问题重述

根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表14。

根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据

二、问题分析

由于牙膏是生活必需品，对人多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。

因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。

1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图

2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型

3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型

对模型进一步改进，确定最终的模型

牙膏销售量为y,其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为xl,公司投入的广告费用为x2,其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,xl=x3-x4o基于上面的分析，我们仅利用lx和2x来建立y的预测模型。

五.模型的建立和求解

1.基本模型

利用表1-1的数据用matlab作出y与xl的散点图（图1-1）,y与x2的散点图（图1-2）代码如下：

xl=[-0.050.250.600.250.20.150.05-0.150.150.20.10.40.450.350.30.50.50.4-0.05-0.05-0.10.20.10.50.6-0.0500.050.55）;

x2=[5.56.757.255.576.56.755.255.2566.56.2576.96.86.87.176.86.56.2566.576.86.86.55.755.86.8];

y=[7.388.519.527.59.338.288.757.877.187.898.159.18.868.98.879.2698.757.957.65

7.2788.58.759.218.277.677.939.26];

Al=polyfit（xlzy,l）;

yyl=polyval（Al,xl）;

A2=polyfit（x2/y,2）;

x5=5:

0.05:

7.25;

yy2=polyvaI（A2zx5）;

subplot（l/2,l）；

plot（xl/y；

o,,xl,yyl）;

title（'

图ly对xl的散点图'

）；

subplot（l/2,2）;

plot（x2/y；

o,/x5,yy2）;

图2y对x2的散点图'

图（1-1）与图（1-2）

从图1可以发现，随着lx的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：

y=0°

+0內+£

（1）

拟合的（其中£

是随机误差）。

而在图2中，当x2增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型：

y=/74-+P2x^+£

（2）

综合上面的分析，结合模型

（1）和

（2）建立如下的回归模型：

y=0。

+卩並+P2x2++g（3）

（3）式右端的xl和x2称为回归变量（自变量），0。

+0內+0人+03可是给定价格差xl，广告费用x2时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数0。

几,02，03称为回归系数，由表1-1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差£

中。

如果模型选择合适，£

应该大致服从值为0的正态分布。

2.模型求解

在刚刚运行的代码后面，继续使用regressI具求解，代码为：

x6=[ones（30zl）xl'

x2'

（x2.A2）'

];

[b,bint,r,rint,stats]=regress（y：

x6,0.05）

运行结果如图（1-3）

得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平a=0.05）、检验统计量用,F,p,S’得结果见表1-2

参数

参数估计值

参数置信区间

0。

17.3244

[5.7282,28.9206

1.3070

[0.6829,1.9311]

-3.6956

E-7.4989,0.1077]

0.3486

[0.0379,0.6594]

F二0.9054F=82.9409p<

0.0001s-0.0490

表「2模型（3）计算结果

x1=（-0.060.260.600.250.20.1$0.05-0.150.IS0.20.10.40.450.350.30.50.60.4-605-605-0.10.20.I0.S0.8-0.6500.050.5SJX2=[%56•為7.205.576・D0.755.255.35%G50.257G.90.56.87.I70.80.50.256fl.570.5乩80.55.755.881：

尸（T-38&

519・527.59.338.288.T57.377.187.8$8.159.1&

$6&

98.8：

9.2698.757.$57.657.2T88.58.T59.21&

277.6：

：

・939・26】：

Al=polyfit（xLy,I）

yyl=polyv81'

Abxl>

A2=polyfit<

x2,yj2）.

xS=5:

0.C6:

7.26:

yy2=polyvaliA2,xB）.

subplot<

1j2,1）:

plot<

xby,o^xl^yyl）:

titleCffily?

Jx】的）-

flubpLot<

1,2,2）.plot（x2,y,*o'

*2）.

UtleCffl2y5Qx2的殓白田，）；

x6=[4nes（30.1）xlzxZ<

x2.*2）*J：

rim,2i2itfi]=rw^rcaB<

/7x670.05）

L.3070

-3.8268

0.3486

burt-

6.72S228.d20«

0.6829】・93】l

-7.：

9390.10T7

0.03790.«

S94

图（1-3）

3.结果分析

表1-2显示，K2=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型决定，F值远远超过F检验的临界值，P远小于a,因而模型（3）整体来看是可用的

表1-2的回归系数中％的置信区间包含零点，表示回归变量X：

（对因变量y的影响）是不太显著的，但由于X’是显著的，我们仍将X’留在模型中

4.销售量预测

将回归系数的估计值带入模型（3）,即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y,预测值记为j,得到模型（3）的预测方程：

AAAA

尸0。

+0曲+0应+03帘（4）

人

只需要知道该销售周期的价格差xl和投入的广告费用x2,就可以计算预测值y。

5.模型改进

模型（3）中回归变量xl和x2对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用

X2的二次关系由回归系数伙和03确定，而不依赖于价格差X1,同样的，y的均值与X1的线性关系由回归系数几确定，而不依赖于x2°

根据直觉和经验可以猜想，xl和x2之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用xl,x2的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到：

y=/?

o+（3^+P2x2++（34xyx2+s（5）

在这个模型中，y的均值与2X的二次关系为（02+0A）壬+03乳『，由系数确

定，并依赖于价格差XI。

在上述运行程序后继续输入代码：

x7=[ones（30,l）xl1x2*（x2.A2）*（xl.*x2）'

[b,bint/r/rint/stats]=regress（y,/x7/0.05）;

b,bint,stats

结果见图（1-4）

=[ones（30,1）xTx2*（x2•⑵'

仗1・凉2）'

]：

[b,bint,r.rint.stats]=regressl.y‘,xT,0.05）:

b）bin*t）stats

29.1133

11.1342

-7.6080

0.6712

-1.4777

图（1-4）

计算结果即为表1-3

[13.7013,44.5252]

11.1342

[1.9778,20.2906]

[-12.6932,-2.5228]

[0.2538,1.0887]

[-2.8518,-0.1037]

RZ=0.9209F=72.7771P<

0.0001=0.0426

表1-3模型（5）计算结果

表3与表2的结果相比，，有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。

并且，所有参数的置信区间，特别是XI,X2的交互作用项X1X2的系数Q的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。

在保持广告费用x2=6.5百万元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值与价格差xl的关系作图，见图1-5和图1-6,代码为：

yy3=17.3244+1.307*xl+（-3.6956）*6.5+0.3486*6.5*6.5;

plot（xl,yy3）;

gridon

figure

（2）

yy4=29.1133+11.1342*xl+（-7.608*6.5）+0.6712*6.5*6.5+（-1.4777）*6.5*xl;

plot（xl,yy4）;

图1-5

图1-6

在保持价格差xl=0.2元不变的条件卞，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值&

与广告费用X2

的关系作图，见图1-7和图代码如下：

figure⑶

yy5=17.3244+1.307*0.2+（-3.6956）*x2+0.3486*x2.*x2;

bb=polyfit（x2,yy5,2）;

xx5=5.25:

yy51=polyval（bb/xx5）;

plot（xx5,yy51）;

gridon;

figure（4）

yy6=29.1133+11.1342*0.2+（-7.608*x2）+0.6712*x2.*x2+（-1.4777）*x2*0.2;

bb=polyfit（x2,yy6,2）;

xx6=5.25:

yy61=polyval（bb,xx6）;

plot（xx6,yy61）;

图1-7

图1-8

6.模型的进一步改进

完全二次多项式模型：

与lx和2x的完全二次多项式模型

y=+P2x2+P5xYx2+P4x^+P5x^+£

（6）

相比，模型（5）只少xf项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。

这样做的好处之一是

MATLAB统计工具箱有直接的命令rstool求解，并且以交互式画面给出y的估计值;

和预测空间。

代码为：

x=[xl,x2'

rstoolfx^'

/quadratic'

）

结果为图1-9

图1-9

点击Export,可以得到模型（6）的回归系数估计值为

AAAAAAA

P=（队化,A）=（32.0984,14.7436,-8.6367,-2.103&

1.1074Q7594）

所以回归模型为：

Y=32.0984+14.7436*xl-8.6367*x2-2.1038*xl*x2+1.1074V+0.7594X/

10.2软件开发人员的薪金

一家技术公司人事部门欲建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考。

为此，研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，如表2-1,其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员,0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生）

表2-1软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系

编号

薪金

资历

管理

教育

13876

11608

18701

11283

11767

20872

11772

10535

12195

12313

14975

21371

19800

11417

20263

13231

12884

13245

13677

15965

12366

21352

13839

22884

16978

14803

17404

22184

13548

14467

15942

23174

23780

25410

14861

16882

24170

15990

26330

17949

25685

27837

18838

17483

19207

19364

研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，以这资料建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考

二.问题分析

按照常识，薪金自然随着资历（年）的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高

1.建立薪金与资历，管理责任，教育程度之间的多元线性回归模型

2.利用matlab的统计工具箱计算回归系数及置信区间

3.在上述模型中增加管理与教育的交互项，建立新的回归模型

利用matlab的统计工具箱计算回归系数及置信区间并与上面结果比较得出结论

对于问题，在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，薪金记作y，资历（年）记作xl,为了表示是否非管理人员，定义=管理竺，为了表示3种教育程度,定义x3=（气芝，x4=F聋,

10,其它lo,其它lo,其它

这样，中学用x3=l,x4=0来表示，人学用x3=0,x4=l表示，研究生则用x3=0,x4=0表示。

五.模型的建立与求解

根据假设，薪金y与资历xl,管理贵任x2,教育程度x3,x4之间的多元线性回归方程为：

y=a0+alxl+a2x2+a3x3+a4x4+£

（】）

直接利用matlab统计工具箱中的命令regress求解回归系数估计值及其置信区间（置信水平a=0.05）.检验统计量R'

F,p,S2,代码为：

xl=[l11112222333344445556666788881010101011111212131314151616161720

r；

x2=[l01001000011101000010101101100011100101011000O]1;

x3=[l00000010010010000011000101011000010010000010I]1;

x4=[000101100101000011000011010000101101001101101O]1;

y=[13876116081870111283117672087211772105351219512313149752137119800114172026313231128841324513677159651236621352138392288416978148031740422184135481446715942231742378025410148611688224170159902633017949256852783718838174831920719346]*;

x0=ones（46,l）;

x=[xOxlx2x3x4];

[b/bint/r/rint,stats]=regress（y,x/0.05）;

[bbintjjint/stats]=regress（y,x/0.05）;

b=vpa（b,8）

bint=vpa（bint,8）

stats=vpa（stats,8）

结果如图2-1

11032.734

546.12765

6882.5329

-2994.1783

147.73798

bint=

图（2・1）

即模型

（1）的计算结果是表2・2

11032

[10258卫807]

546

[484,608]

6883

[6248,7517]

-2994

[-3826,-2162]

148

[-636,931]

=0.957F=226p<

0.0001s2=1.057*10A6

表2・2模型

（1）计算结果

3・结果分析

从表2-2知，=0.975,即因变量（薪金）的95.7%可由模型确定，F值远远超过F的检验的临界值，p远小于因而模型

（1）从整体来看是可用的。

比如，利用模型可以估计（或预测）一个大学毕业，有2年资历，费管理人员的薪金为：

yl=a0+al*xl+a2*x2+a3*x3+a4*x4+£

=12272

模型中各个回归系数的含义可初步解释如下：

xl的系数为546,说明资历增加1年薪金增长546；

X2的系数为6883,说明管理人员薪金多6883；

x3的系数为-2994,说明中学程度薪金比更高的少2994；

x4的系数为148,说明人学程度薪金比更高的多148,但是应该注意到a4置信区间包含零点，说明这个系数的

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