由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|PA|＝
＝，同理|PB|＝.
所以|PA|·|PB|＝
＝
＝＝m2.
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
高考必会题型
题型一 定值、定点问题
例1 已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？
若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由.
解
（1）依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.
（2）∵直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，
又F坐标为（1，0），设直线l方程为
y＝k（x－1），求得l与y轴交于M（0，－k），
设l交椭圆A（x1，y1），B（x2，y2），
由
消去y得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
又由＝λ，∴（x1，y1＋k）＝λ（1－x1，－y1），
∴λ＝，同理μ＝，
∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.
∴当直线l的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.
点评
（1）定点问题的求解策略
把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）定值问题的求解策略
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.
变式训练1 已知抛物线y2＝2px（p>0），过点M（5，－2）的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
解
（1）当直线l的斜率为－1时，
直线l的方程为x＋y－3＝0，即x＝3－y，
代入y2＝2px（p>0）得y2＋2py－6p＝0，
＝－p＝－2，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
（2）设直线l的方程为x＝m（y＋2）＋5，
代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0，
设点A（，y1），B（，y2），
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20，
假设存在点P（，y0）总是在以弦AB为直径的圆上，
则·＝（－）（－）＋（y1－y0）（y2－y0）＝0，
当y1＝y0或y2＝y0时，等式显然成立；
当y1≠y0或y2≠y0时，
则有（y1＋y0）（y2＋y0）＝－16，
即4my0＋y－8m－20＝－16，（4m＋y0＋2）（y0－2）＝0，
解得y0＝2，x0＝1，
所以存在点P（1，2）满足题意.
题型二 定直线问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2＝2py（p>0）相交于A，B两点.
（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？
若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
解 方法一
（1）依题意，点N的坐标为（0，－p），
可设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y＝kx＋p，
与x2＝2py联立得
消去y得x2－2pkx－2p2＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.
于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|
＝p|x1－x2|＝p
＝p＝2p2，
∴当k＝0时，（S△ABN）min＝2p2.
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，
AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O′H⊥PQ，O′点的坐标为（，）.
∵|O′P|＝|AC|＝＝，
|O′H|＝＝|2a－y1－p|，
∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2
＝（y＋p2）－（2a－y1－p）2
＝（a－）y1＋a（p－a），
∴|PQ|2＝（2|PH|）2＝4[（a－）y1＋a（p－a）].
令a－＝0，得a＝，
此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，
其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线.
方法二
（1）前同方法一，再由弦长公式得
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝2p·，
又由点到直线的距离公式得d＝.
从而S△ABN＝·d·|AB|＝·2p··＝2p2.
∴当k＝0时，（S△ABN）min＝2p2.
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，
则以AC为直径的圆的方程为（x－0）（x－x1）＋（y－p）（y－y1）＝0，
将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋（a－p）（a－y1）＝0，
则Δ＝x－4（a－p）（a－y1）＝4[（a－）y1＋a（p－a）].
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），
则有|PQ|＝|x3－x4|
＝
＝2.
令a－＝0，得a＝，
此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，
其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线.
点评
（1）定直线由斜率、截距、定点等因素确定.
（2）定直线一般为特殊直线x＝x0，y＝y0等.
变式训练2 椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e＝.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x＝4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求·的值；
（3）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，＝x，＝y，求证：
4x＋4y＋5＝0.
（1）解 由题意可得b＝1，＝，
∴a＝3，椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）解 设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为
y＝（x＋3），y＝（x－3），
将x＝4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为
D（4，），E（4，）.
由
（1）知，F1（－2，0），F2（2，0），
∴·＝（4＋2，）·（4－2，）＝8＋，
又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，
∴＋y＝1⇒＝－，
∴·＝.
（3）证明 设M（x1，y1），N（x2，y2），R（4，t），
由＝x得（x1－4，y1－t）＝x（1－x1，－y1），
∴（x≠－1），
代入椭圆方程得（4＋x）2＋9t2＝9（1＋x）2，①
同理由＝y得（4＋y）2＋9t2＝9（1＋y）2，②
①－②消去t，得x＋y＝－，
∴4x＋4y＋5＝0.
题型三 存在性问题
例3
（1）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.
答案 [1，＋∞）
解析 以AB为直径的圆的方程为x2＋（y－a）2＝a，
由得y2＋（1－2a）y＋a2－a＝0.
即（y－a）[y－（a－1）]＝0，
由已知解得a≥1.
（2）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|＝，|CD|＝2－，AC⊥BD，M为CD的中点.
①求点M的轨迹方程；
②过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使＝λ0，且P点到A，B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
③过（0，）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值.
解 ①设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），
则C（x，y－1＋），D（x，y＋1－）.
又A（0，），B（0，－）.
由AC⊥BD有·＝0，
即（x，y－1）·（x，y＋1）＝0，
∴x2＋y2＝1（x≠0），
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠0）.
②设P（x，y），则M（（1＋λ0）x，y），
代入M的轨迹方程有（1＋λ0）2x2＋y2＝1（x≠0）.
即＋y2＝1（x≠0），
∴点P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.
要使点P到A，B的距离之和为定值，
则以A，B为焦点，故1－＝（）2.
∴λ0＝2，从而所求P的轨迹方程为＋y2＝1（x≠0）.
③易知l的斜率存在，设方程为y＝kx＋，
联立9x2＋y2＝1（x≠0），
有（9＋k2）x2＋kx－＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|x2－
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