290415李亚韦实验五温度分布的曲线拟合.docx
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290415李亚韦实验五温度分布的曲线拟合
温度分布的曲线拟合
2904203015李亚韦
一、实验描述
在当今日常生活和科学研究中，常常会经过某些数据来进行曲线拟合，通过所得的拟合曲线，我们可以推断出某些规律或者事物即将发展的规律，给我们以帮助，好在事情发生之时做出准备，能更好的处理问题。
在生活中最为普遍的曲线拟合就是在股票中，他能帮我们清晰的呈现出股市的发展情况和预测股票的跌涨，帮我们做出决定；曲线拟合在天气方面像降雨量啊，这些方面也同样很有作用，在科学研究方面像卫星火箭发射也相当的重要，一句话曲线拟合对于我们来说已经是相当重要的一种科学运算方式，对我们各方面的发展都有着相当大的作用。
我们常用的拟合方法有线性的最小二乘拟合、曲线的最小二乘抛物线拟合、三次样条插值拟合、T7的三角多项式拟合、有4个控制点的贝塞尔曲线拟合等，每种方法各有异同，下面为各种方法的介绍。
线性最小二乘拟合：
线性最小二乘拟合的主要分析函数为：
对于已知的{}、{}满足关系式：
其中，
其中1≤k≤N
表示误差。
误差的种类如下：
最大误差：
平均误差：
均方根误差：
在这里我们可以通过：
来求得系数A,B的值，进而求得函数
曲线的最小二乘抛物线拟合：
最小二乘抛物线拟合的系数表示为：
我们可以通过如下方程组来求解A,B和C的值：
三次样条插值拟合：
三次条插值法的首要任务就是构造多项式（x）,而构造要求如下：
根据判定三次样条的存在性知，每个三次多项式由四个未知数，因此需要求解4N个条件，根据给出的数据和上式的III、IV和V共提供了4N-2个条件，所以还有两个条件还得给出，我们称剩余两个条件为端点约束，它们由来确定。
而我们通过
即可求得。
T7的三角多项式拟合：
三角多项式逼近的级数：
其中：
通过以上式子就可以就出，这里我们取M=7。
有4个控制点的贝塞尔曲线拟合：
N阶贝塞尔曲线定义为：
它们都是t的函数，而
通过上面的式子我们就看求得不同的点，相连接后即可得到所需曲线。
二、实验内容
根据已知的数据表
（1），用线性的最小二乘拟合、曲线的最小二乘抛物线拟合、三次样条插值拟合、T7的三角多项式拟合、有4个控制点的贝塞尔曲线拟合求解个拟合图形。
时间pm
温度
时间am
温度
1
66
1
58
2
66
2
58
3
65
3
58
4
64
4
58
5
63
5
57
6
63
6
57
7
62
7
57
8
61
8
58
9
60
9
60
10
60
10
64
11
59
11
67
午夜
58
正午
68
表
（1）
线性最小二乘拟合：
流程图：
程序如下：
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23];
y=[58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58];
x11=sum（x.^2,2）;%求解
x12=sum（x,2）;%求解
x22=24;
y1=x*y';
y2=sum（y,2）;%求解y2
X=[x11,x12;x12,x22];
Y=[y1;y2];
AB=inv（X）*Y;%求解系数A,B
t=0:
0.1:
24;
m=t*AB
（1）+AB
（2）;%方程y=Ax+B
plot（t,m,x,y,'r.'）
曲线的最小二乘抛物线拟合：
流程图：
Y
N
程序：
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23];
y=[58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58];
x11=sum（x.^4,2）;%求解
x12=sum（x.^3,2）;%求解
x13=sum（x.^2,2）;%求解
x21=x12;
x22=x13;
x23=sum（x,2）;%求解
x31=x13;
x32=x23;
x33=24;
y1=x.^2*y';
y2=x*y';
y3=sum（y,2）;
X=[x11,x12,x13;x21,x22,x23;x31,x32,x33];
Y=[y1;y2;y3];
ABC=inv（X）*Y%求解系数A,B,C
t=0:
0.1:
24;
m=t.^2*ABC
（1）+t*ABC
（2）+ABC（3）;%方程
plot（t,m,x,y,'r.'）
次样条插值拟合：
流程图：
程序：
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23];
y=[58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58];
n=23;
dx0=（y
（2）-y
（1））/（x
（2）-x
（1））;%求得
dxn=（y（n）-y（n+1））/（x（n）-x（n+1））;%求得
h=diff（x）;%系数
d=diff（y）./h;%系数
a=h（2:
n-1）;
b=2*（h（1:
n-1）+h（2:
n））;
c=h（2:
n）;
u=6*diff（d）;
b
（1）=b
（1）-h
（1）/2;
u
（1）=u
（1）-3*（d
（1）-dx0）;
b（n-1）=b（n-1）-h（n）/2;
u（n-1）=u（n-1）-3*（dxn-d（n））;
fork=2:
n-1
temp=a（k-1）/b（k-1）;
b（k）=b（k）-temp*c（k-1）;
u（k）=u（k）-temp*u（k-1）;%系数
end
m（n）=u（n-1）/b（n-1）;
fork=n-2:
-1:
1
m（k+1）=（u（k）-c（k）*m（k+2））/b（k）;%系数
end
m
（1）=3*（d
（1）-dx0）/h
（1）-m
（2）/2;
m（n+1）=3*（dxn-d（n））/h（n）-m（n）/2;
fork=0:
n-1
s（k+1,1）=（m（k+2）-m（k+1））/（6*h（k+1））;
s（k+1,2）=m（k+1）/2;
s（k+1,3）=d（k+1）-h（k+1）*（2*m（k+1）+m（k+2））/6;
s（k+1,4）=y（k+1）;
%求解
end
x1=0:
0.01:
1;y1=polyval（s（1,:
）,x1-x
（1））;
x2=1:
0.01:
2;y2=polyval（s（2,:
）,x2-x
（2））;
x3=2:
0.01:
3;y3=polyval（s（3,:
）,x3-x（3））;
x4=3:
0.01:
4;y4=polyval（s（4,:
）,x4-x（4））;
x5=4:
0.01:
5;y5=polyval（s（5,:
）,x5-x（5））;
x6=5:
0.01:
6;y6=polyval（s（6,:
）,x6-x（6））;
x7=6:
0.01:
7;y7=polyval（s（7,:
）,x7-x（7））;
x8=7:
0.01:
8;y8=polyval（s（8,:
）,x8-x（8））;
x9=8:
0.01:
9;y9=polyval（s（9,:
）,x9-x（9））;
x10=9:
0.01:
10;y10=polyval（s（10,:
）,x10-x（10））;
x11=10:
0.01:
11;y11=polyval（s（11,:
）,x11-x（11））;
x12=11:
0.01:
12;y12=polyval（s（12,:
）,x12-x（12））;
x13=12:
0.01:
13;y13=polyval（s（13,:
）,x13-x（13））;
x14=13:
0.01:
14;y14=polyval（s（14,:
）,x14-x（14））;
x15=14:
0.01:
15;y15=polyval（s（15,:
）,x15-x（15））;
x16=15:
0.01:
16;y16=polyval（s（16,:
）,x16-x（16））;
x17=16:
0.01:
17;y17=polyval（s（17,:
）,x17-x（17））;
x18=17:
0.01:
18;y18=polyval（s（18,:
）,x18-x（18））;
x19=18:
0.01:
19;y19=polyval（s（19,:
）,x19-x（19））;
x20=19:
0.01:
20;y20=polyval（s（20,:
）,x20-x（20））;
x21=20:
0.01:
21;y21=polyval（s（21,:
）,x21-x（21））;
x22=21:
0.01:
22;y22=polyval（s（22,:
）,x22-x（22））;
x23=22:
0.01:
23;y23=polyval（s（23,:
）,x23-x（23））;
plot（x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x11,y11,x12,y12,x13,y13,x14,y14,x15,y15,x16,y16,x17,y17,x18,y18,x19,y19,x20,y20,x21,y21,x22,y22,x23,y23,x,y,'*'）
T7的三角多项式拟合：
流程图：
Y
N
Y
N
程序:
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23];
y=[58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58];
a0=sum（y）/12;%系数a0
fori=1:
24
xt（i）=-pi+i*pi/12;%求解
end
forj=1:
7
fork=1:
24
a（j）=y（k）*（cos（j*xt（k）））'/12;%求
b（j）=y（k）*（sin（j*xt（k）））'/12;%求
end
end
symst
forj=1:
7
m（j）=a（j）*cos（j*t）+b（j）*sin（j*t）;%求
end
t7=a0/2+sum（m）;%
k=0:
23;
t7=subs（t7,t,k）;交换变量t,k并求出t7关于k的值
plot（k,t7,x,y,'.'）
有四个控制点的贝塞尔曲线拟合:
Y
N
程序：
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23];
y=[58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68,66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58];
x1=[0,1,2,3];x2=[3,4,5,6];x3=[6,7,8
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