精品课件湘教数学必修2第4章451Word格式.docx

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a——b=（兀1—兀2，Vi—丿2）：

2伉=0乂1,AVi）:

a〃方Q兀力一兀*1=0•2.向量加法的运算律有交换律和结合律•

知新益能

1.从任一点0出发作OA=a,OB=b,则射线0A,OB所夹的最小非负角就是向量a"

的夹角〈。

丿〉,取值在［0,刊的范围内.

2・向量的数量积

（1）数量积定义

设〃，〃是任意两个向量，S,〃〉是它们的夹角,取值范围［0,it\.则定义a・0=lall0lcos〈a,b）称为。

与方的数量积.

（2）投影值的定义

（a）b=\a\cos〈a、b｝称为a在0上的投影值.

3・向量数量积的运算律

已知向量a,b,c与实数2,贝!

）

问题探究

1.如何理解向量的夹角？

提示：

（1）对两个不共线向量b,通过平移使它们的起点相同，这两个共起点的向量的夹角与方角.

==|

（2）两向量垂置可理解为这两个向量所在的直线互相垂直，两向量平行（或共线），可理解为这两个向量的夹角为0°

或180°

・

2.E的符号与。

和〃的夹角〃有什么关系？

提示：

（1）若a・〃＞0为锐角或零角；

（3）若a・XQS为钝角或平角.

3.如何证明数乘向量的数量积的运算律?

⑴当2=0时，结论显然成立；

（2）当2>

0时，〈加，b）=（a,2b）=（a,方〉，由此易证（加）•方=2（a•方）=a•（肋）=2lalIZdcos（a,b）；

⑶当久VO时，〈加，b}=S,肋〉

=兀—〈。

b},

cos〈加，b）=cos{a,劝〉=—cos{a,b},/.（2«

）•&

=LZalIZdcos〈加，b）=—2lalIZd（—cos〈a,b}）

=2Xa\Iftlcos{a,b）,同理a•（肋）=久血1Iftlcos{a,b>

・■•久（a•方）=（Xa）*b=a・（Ab）.

课堂互动讲练

考点突破

根据平面向量数量积的定义，找清模及向量的夹角，根据公式法则计算.

及向量的夹角，根据公式法则计算.

已知血1=4,I方1=3,分别求满足下列条件的a与〃

的数量积.

（2）a丄加

（3加与〃的夹角为60°

【思路点拨】按a・〃=lalIZdcos〃进行计算.

【解】⑴当a与0同向时，a•方=血卜1方1=12；

当a与〃反向时，a'

b=—\aV\b\=—\2・

（2）因为a丄〃，所以〃与〃的夹角为90。

，故询=laiIZdcos90°

=0.

1

（3）

a•方=lal0lcos60°

=12X刁=6.

与方的夹角；

②分别求lai,I方I；

③求数量积，即a•方=lalblcos仇应注意书写时a与方之间用“•”连接，

而不能用“X”连接，也不能省去.

自我挑战1

（1）已知\a\=5,a与b的夹角为60°

求a在方方向上的投影；

（2）已知a-b=3,\a\=5f求方在。

方向上的投影.

解:

⑴°

在方方向上的投影为lalcos60°

=5X^

（2）由a•方=lai\bIcos〃知，方在a方向上的投

与向量0,〃同向共起点的向量的夹角就是。

与〃的夹角.

BC

己知正三角形ABC的边长为1,求:

（1）ABAC；

（2）AJSBC；

（3）BCAC.

【思路点拨】根据图形，找清夹角，<

AB,AC）

=60°

<

AB,BC}=120°

BC,AC>

=60°

.

【解】

（1）AB^AC的夹角为60。

：

.ABAC=\AB\\AC\cos60°

（2厢与庞的夹角为120°

:

.ABBC=\AB\\BC\cos120°

11

=1X1X（--）=--（3）BC^AC的夹角为60。

，

ffff11

ABCAC=IBCIIACIcos60°

=1X1Xt=t

如例2图所示，向量乔与向量庞的起点不同，因

此B并不是它们的夹角,而正确的夹角应是角B的补角（120。

）・

自我挑战2在△ABC中，AB=afBC=bf若a・b>

0,则AABC的形状为（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.不能判断

解析：

选B.本题主要考查两向量的夹角公式，由于。

力>

0,cos{a,b}>

0,而〈a,b）=7t—B,・・・兀一〃为锐角，・・・B为钝角.故选B・

1!

数量积的运算只适合交换律、乘法分配律及数乘结合律，不送合乘法结合律，B卩（a・〃）・c不一是裁于

a・（b・c）,因为（a・b）・c表示一个与c共线的向量，而

a•（方・c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共

⑴求

（2）求@+方）2；

⑶求/—方2；

⑷求（2a-b）-（a+3b）.

【思路点拨】由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）-（a+b）=（a+b）・a+（a+b\b=a*a+b*a+a*b+b*b=a2+2a・b+b2.

・Q©

寸—H9IXE—（OI—）XS+SZXZHZ_0_E

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・6h9i—szhz§

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hw—zu（e）

・IZH9I+0IXZ—SZHZ_a+0・A+Z§

HZ0+0・A+Z0HZ（0+U）（z）s

—Hfl—x"

寸XSHOOZIso总亘Hme【噗】

【名师点评】两向量的数量积，其结果是个数

量'

而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定

1.直接利用数量积的定义式求解时，一定要把这两个向量夹角确定好.

2.利用向量的数量积定义式求两个向量的夹角时，须把这两个向量的数量积及各自的模求出来,同时要注意向量夹角的范围是[0,!

!

]・

3.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运

算，与实数乘实数，实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.