第五节力的分解Word格式.docx

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3．两个标量相加的结果可能小于其中的一个量．（√）

分层设问，破解疑难

将一个力分解时，答案一定是唯一的吗？

【提示】　不一定，只有符合一定条件，分解的答案才是唯一的．

自我总结，素能培养

1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力

将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个（如图3－5－3所示），这样分解是没有实际意义的．实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力．

图3－5－3

2．一个合力可分解为唯一的一组分力的条件

（1）已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．

　　　　　　　　甲　　　　　　乙

图3－5－4

（2）已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．

　　　　　　　　甲　　　　　　乙

图3－5－5

（3）已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：

图3－5－6

①当Fsinα＜F2＜F时，有两解，如图甲所示

②当F2＝Fsinα时，有唯一解，如图乙所示

③当F2＜Fsinα时，无解，如图丙所示

④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示

典例印证，思维深化

　把一个80N的力F分解成两个分力F1、F2，其中力F1与F的夹角为30°

，求：

（1）当F2最小时，另一个分力F1的大小．

（2）F2＝50N时F1的大小

【思路点拨】

画已知力的示意图→依条件作平行四边形→求解

【解析】　

（1）当F2最小时，如图甲所示，F1和F2垂直，此时F1＝Fcos30°

＝80×

N＝40

N.

　　　　　　甲　　　　　乙

（2）根据图乙所示，Fsin30°

＝80N×

＝40N＜F2

则F1有两个值．

F1′＝Fcos30°

－

＝（40

－30）N

F1″＝（40

＋30）N.

【答案】　

（1）40

N　

（2）（40

－30）N或（40

＋30）N

1．画矢量图是解决力的分解问题的有效途径；

2．涉及“最大”、“最小”等极值问题时，可多画几种不同情形的图，通过比较鉴别正确情景．

精选习题，落实强化

1．如图3－5－7所示，物体静止在光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使物体受到由O指向O＇方向的合力（F与OO′都在同一平面内，与OO′间夹角为θ）．那么，必须同时再加一个力，这个力的最小值是（　　）

A．Fcosθ　　B．Fsinθ　　　

C．Ftanθ　　D．Fcotθ

图3－5－7

【解析】　已知合力F合的方向由O指向O＇，但大小不确定，又已知一个分力F的大小和方向，确定另一个分力（设为Fx）的最小值．根据三角形定则可画出一个任意情况，如图甲所示．从图中可看出，Fx的大小就是过F的箭头向直线OO＇上所引直线的长度，在不考虑合力大小的情况下，欲使Fx最小，应使Fx与直线OO＇垂直，如图乙所示，此时Fx＝Fsinθ.

【答案】　B

2．将一个有确定方向的力F＝10N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°

夹角，另一个分力F2的大小为6N，则在分解时（　　）

A．有无数组解B．有两组解　C．有唯一解D．无解

【解析】　由已知条件可得Fsin30°

＝5N，又5N＜F2＜10N，即Fsin30°

＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，此时有两组解，故选B.

力的效果分解法（规律方法）

1．将某个力进行分解时，两分力的方向如何确定？

【提示】　两分力的方向要根据力的实际作用效果来确定．

2．取一根细线，将细线的一端系在右手中指上，另一端系上重物．用一支铅笔的尾部顶在细线上的某一点，使细线的上段保持水平，下段竖直向下．铅笔尖端置于右手掌心，如图3－5－8所示．

图3－5－8

（1）你能感觉到重物竖直向下拉细线的力产生了哪两个作用效果吗？

（2）由力的作用效果确定的重力的两个分力多大

【提示】

（1）效果：

一是沿铅笔向里压手（使铅笔斜向下压掌心），二是沿着细线方向拉中指（使细线水平张紧）．

（2）力的分解如图所示．

F1＝

，F2＝

.

1．按实际效果分解的几个实例

实例

分析

地面上物体受斜向上的拉力F，其效果为一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcosα，F2＝Fsinα

质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：

一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsinα，F2＝mgcosα

质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：

一是使球压紧板的分力F1；

二是使球压紧斜面的分力F2.

F1＝mgtanα，F2＝

质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：

一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；

二是使球拉紧悬线的分力F2.

质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：

对OA的拉力F1和对OB的拉力F2.

质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：

一是拉伸AB的分力F1；

二是压缩BC的分力F2.

2．力的效果分解法的“四步走”解题思路：

确定要分解的力

⇩

按实际作用效果确定两分力的方向

沿两分力方向作平行四边形

根据数学知识求分力

　压榨机如图3－5－9所示，B为固定铰链，A为活动铰链．在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D.已知L＝0.5m，h＝0.1m，F＝200N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力．

图3－5－9

【思路点拨】　解答本题应注意以下两点

（1）力F产生的实际作用效果；

（2）图中的几何关系及对称性．

【解析】　根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则F1＝F2＝

.而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：

使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sinα＝

由tanα＝

得F4＝

·

＝500N.

【答案】　500N

1．力的效果分解法注意事项：

①采用力的效果分解法对力进行分解时，关键是按照力的作用效果准确确定出两分力的方向

②较准确地作出平行四边形，确定力与平行四边形的边角关系．

③计算分力大小常用的数学知识：

三角函数、直角三角形、相似三角形等．

2．确定力的实际作用效果的技巧：

若物体受三个力并处于平衡状态，确定其中一个力的实际作用效果时，可先作出物体所受的三个力的示意图，其中一个力的两个实际作用效果的方向一定在其余两个力的反向延长线上．

3．（2014·

江苏阜宁中学高一期中）如图3－5－10所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边是斧头的刃面，要使斧头容易劈开木柴，则（　　）

A．BC边短一些，AB边也短一些

B．BC边长一些，AB边短一些

C．BC边短一些，AB边长一些

D．BC边长一些，AB边也长一些

图3－5－10

【解析】　相对地，BC边短一些，AB边长一些，会使斧头向下的力产生两个较大的分力，这两个分力的方向分别垂直于AB、AC边，正是有这两个较大的分力，才使得斧头容易劈开木柴．

【答案】　C

图3－5－11

4．（多选）（2014·

清远高一检测）如图3－5－11所示，物体A静止在倾角为30°

的斜面上，现将斜面倾角由30°

增大到45°

，物体仍保持静止，则下列说法中正确的是（　　）

A．A对斜面的压力不变

B．A对斜面的压力减小

C．A受到的摩擦力减小

D．A受到的摩擦力增大

【解析】　倾角为30°

时，物体受到的摩擦力F1＝mgsim30°

＝

mg，对斜面的压力FN＝mgcos30°

mg；

倾角为45°

时，物体受到的摩擦力Ff＇＝mgsin45°

mg，对斜面的压力FN＇＝mgcos45°

mg，故Ff＜F′f，FN＞F′N，B、D正确．

【答案】　BD

　力的正交分解法（规律方法）

当物体受到多个力的作用时，用平行四边形定则求其合力很不方便，甚至困难时，怎样求其合力？

【提示】　先将各力正交分解，然后再合成，“分”是为了更方便的进行“合”．

1．概念

将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解．

2．优点

正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算．其优点有：

（1）可借助数学中的直角坐标系对力进行描述．

（2）分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解．

3．适用情况

常用于三个或三个以上的力的合成．

4．步骤

（1）建立坐标系：

以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．

（2）正交分解各力：

将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图3－5－12所示．

图3－5－12

（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

（4）求共点力的合力：

合力大小F＝

，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝

　如图3－5－13所示，力F1、F2、F3、F4是同一平面内的共点力，其中F1＝20N，F2＝20N，F3＝20

N，F4＝20

N，各力之间的夹角如图所示．求这四个共点力的合力的大小和方向．

图3－5－13

【思路点拨】　解答本题可以按以下思路

【解析】　以F2的方向为x轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系．将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得

F1x＝F1cos60°

＝20×

N＝10N，F1y＝F1sin60°

N＝10

N

F3x＝F3cos45°

＝20

×

N＝20N，F3y＝－F3sin45°

＝－20

N＝－20N，F4x＝－F4sin60°

N＝－30N，F4y＝－F4cos60°

N＝－10

N，

由x轴上各分力的合力为

Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋F4x＝20N

y轴上各分力的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20N

四个力的合力为F＝

N，合力的方向与F3的方向一致．

【答案】　20

N，与F3的方向一致

正交分解法分解的目的是为了更方便地求合力，所以选择正交分解法的题目有两个特点：

（1）物体受力个数一般不少于三个；

（2）建轴后各力与坐标轴的夹角已知，且为常见的特殊角，如30°

、45°

、60°

等．

5．（多选）（2014·

兰州一中高一检测）如图3－5－14所示，重物的质量为m，轻细绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（　　）

A．F1＝mgcosθ　　　　

B．F1＝mgcotθ

C．F2＝mgsinθ

D．F2＝

图3－5－14

【解析】　对结点O受力分析并建坐标系如图所示，

将F2分解到x、y轴上．因O点静止，

故：

x方向：

F1＝F2cosθ，

y方向：

F2sinθ＝F3，F3＝mg

解得：

F1＝mgcotθ，F2＝

，B、D正确．

6．如图3－5－15所示，水平地面上的物体重G＝100N，受到与水平方向成37°

角的拉力F＝60N，支持力FN＝64N，摩擦力Ff＝16N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数．

图3－5－15

【解析】　对四个共点力进行正交分解，如图所示，则x方向的合力：

Fx＝Fcos37°

－Ff＝60×

0.8N－16N＝32N，y方向的合力：

Fy＝Fsin37°

＋FN－G＝60×

0.6N＋64N－100N＝0，

所以合力大小F合＝Fx＝32N，方向水平向右．

动摩擦因数μ＝

＝0.25.

【答案】　32N，方向水平向右　0.25

图解法分析动态平衡问题

通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，从而使物体的状态也发生缓慢变化，物体在变化过程中的每一个状态，都可看作平衡状态，物体的合力始终为零．

　用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图3－5－16所示位置逐渐移动到C点的过程中，分析绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况．

图3－5－16

【解析】　

（1）平行四边形法：

在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，AO、BO上的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，如图甲所示，从图中可以直观地看出，TA逐渐变小，且方向不变；

而TB先变小，后变大，且方向不断改变；

当TB与TA垂直时，TB最小．

甲

（2）矢量三角形法：

将O点所受三力首尾连接，构造出矢量三角形如图乙所示：

乙

将悬点B从图中所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OB上的拉力F3与水平方向的夹角α逐渐增大，根据矢量三角形图可知绳OA的拉力F2逐渐减小，绳OB上的拉力F3先减小后增大．

【答案】　绳OA的拉力逐渐减小　绳OB的拉力先减小后增大

——[先看名师指津]——————————————

1．图解法解动态平衡问题的条件

（1）物体在三个力作用下处于静态平衡状态．

（2）三个力的特点为：

一个力大小、方向都不变，该力一般为重力或与重力相等的力；

一个力方向不变，大小改变，第三个力大小方向均改变．

2．图解法分析三力动态平衡问题的思路

（1）确定研究对象，作出受力分析图．

（2）明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化．

（3）将三力的示意图首尾连接，构造出矢量三角形；

或将某力根据其效果进行分解，画出平行四边形．

（4）根据已知量的变化情况，确定有向线段（表示力）的长度变化，从而判断各个力的变化情况．

——[再演练应用]———————————————

（2014·

长沙高一检测）如图3－5－17所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦．如果把绳的长度增加一些，则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是（　　）

A．F1增大，F2减小

B．F1减小，F2增大

C．F1和F2都减小

D．F1和F2都增大

图3－5－17

【解析】　小球所受拉力F1′、支持力F2′和重力G可以构成如图甲所示的矢量三角形，绳子长度增加，F1′与竖直方向的夹角减小，F1′、F2′的变化如图乙所示，故F1′、F2′均减小，即球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2都减小，C正确．

甲　　　　　　　乙

课时作业（十五）

[全员参与·

基础练]

1．（多选）下列说法正确的是（　　）

A．力的分解是力的合成的逆运算

B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同

C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则

D．部分小于全体，分力一定小于合力

【解析】　力的合成是求几个力的合力，而力的分解是求一个力的分力，且都满足平行四边形定则，因此，A、C均正确；

合力与分力有等效替代关系．所以合力的作用效果与分力的共同作用效果一定相同，B正确，分力可以大于合力，如两力大小相等方向相反时，合力为零，所以D错误．

【答案】　ABC

图3－5－18

2．（多选）（2014·

扬州高一检测）已知两个共点力的合力F＝50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°

角，分力F2的大小为60N，则（　　）

A．F1的大小只有一个可能

B．F2的方向是唯一的

C．F2有两个可能的方向

D．F2可取任意方向

【解析】　因F2＞F，故F1的大小只有一个解，F2也只有一个解，方向是唯一的，故A、B正确．

【答案】　AB

图3－5－19

3．如图3－5－19所示，重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么（　　）

A．F1就是物体对斜面的压力

B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为Gcosα

C．F2就是物体受到的静摩擦力

D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用

【解析】　重力G是物体受的力，其两个分力F1和F2作用在物体上，故A项错误；

F2与物体受到的静摩擦力等大反向，并不是物体受到的静摩擦力，C项错误；

F1、F2不能与物体的重力G同时作为物体受到的力，D项错误；

物体对斜面的压力的大小等于重力G的分力F1＝Gcosα，方向与F1方向相同，B项正确．

4．下图中的四幅图展示了某同学做引体向上运动前的四种抓杠姿势，其中手臂受力最小的是（　　）

　　　　A　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D

【解析】　人体的重力可沿两手臂向下分解为使手臂张紧的两分力．由平行四边形定则可知，两分力的夹角越大，分力就越大，要省力的话，两臂需平行，故B正确．

图3－5－20

5．（多选）将质量为m的长方形木块放在水平桌面上，用与水平方向成α角的斜向右上方的力F拉木块，如图3－5－20所示，则（　　）

A．力F的水平分力为Fcosα

B．力F的竖直分力为Fsinα，它使物体m对桌面的压力比mg小

C．力F的竖直分力为Fsinα，它不影响物体对桌面的压力

D．力F与木块重力mg的合力方向可以竖直向上

【解析】　如图所示，将F分解为水平方向和竖直方向的两个分力F1＝Fcosα，F2＝Fsinα，F2有竖直方向提拉作用，故物体对平面的压力减小了．故正确答案为A、B.

6．（2012·

浙江高考）如图3－5－21所示，与水平面夹角为30°

的固定斜面上有一质量m＝1.0kg的物体．细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧秤相连．物体静止在斜面上，弹簧秤的示数为4.9N．关于物体受力的判断（取g＝9.8m/s2），下列说法正确的是（　　）

图3－5－21

A．斜面对物体的摩擦力大小为零

B．斜面对物体的摩擦力大小为4.9N，方向沿斜面向上

C．斜面对物体的支持力大小为4.9

N，方向竖直向上

D．斜面对物体的支持力大小为4.9N，方向垂直斜面向上

【解析】　物体重力在斜面方向上的分力：

Gx＝mgsin30°

＝4.9N，由此可推断f＝0，即A正确，B错误．物体重力在垂直斜面方向上的分力：

Gy＝mgcos30°

＝4.9

N，方向垂直斜面向下，故C、D均错误．

【答案】　A

图3－5－22

7．（多选）（2014·

温州高一检测）如图3－5－22所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力是（　　）

A．（F－mg）cosθ

B．μ（F－mg）sinθ

C．μ（F－mg）cosθ

D．μ（F－mg）

【解析】　对磨石进行受力分析，由平衡条件，沿斜壁：

（F－mg）cosθ＝Ff，A对；

垂直于斜壁：

压力FN＝（F－mg）sinθ，故摩擦力Ff＝μFN＝μ（F－mg）sinθ，选项B正确．

8．如图3－5－23所示，用两根承受的最大拉力相等，长度不等的细线AO、BO（AO＞BO）悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则（　　）

图3－5－23

A．AO先被拉断

B．BO先被拉断

C．AO、BO同时被拉断

D．条件不足，无法判断

【解析】　依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：

FB＞FA.

又因为两绳承受能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．

[超越自我·

提升练]

图3－5－24

9．（2015·

武汉一中高一检测）如图3－5－24所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10m．用300N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为（　　）

A．1500N　　　　B．6000N

C．300ND．1500

【解析】　对作用点作受力分析，受到作用力F和两个绳子等大的拉力．由题目可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sinα＝

＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝

＝1500N，A项正确，B、C、D项错误．

图3－5－25

10．（多选）（2015·

绍兴高一检测）如图3－5－25所示，细绳OA和OB的结点O下面挂了一盏灯，细绳OB水平．现在使灯离墙壁更近一些，而细绳OB仍保持水平方向，如图中虚线所示，则（　　）

A．细绳OA的拉力变大　B．细绳OA的拉力变小

C．细绳OB的拉力变大　D．细绳OB的拉力变小

【解析】　细绳结点O的受力如图所示：

将O点所受三力的示意图首尾连接，构造出矢量三角形如图甲所示：

　　　　　　　甲　　　　　　　　　　乙

将灯逐渐移近墙壁的过程中，绳OA上的拉力F2与水平方向的夹角逐渐减小，根据矢量三角形图可知两绳子拉力均逐渐增大，A、