数学北师大版九年级上册《公式法解一元二次方程》教学案例.docx

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数学北师大版九年级上册《公式法解一元二次方程》教学案例

《公式法解一元二次方程》教学案例

灵璧县高楼中学黄古孝

一、教材分析

一元二次方程作为中考的重要内容，在整个初中数学阶段都占有重要地位，起着承前启后的作用。

一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础。

运用公式法解一元二次方程，是学生在学习了运用配方法解一元二次方程的基础上进行的，是学习一元二次方程的重点内容之一。

二、学生分析

学生刚刚学过运用配方法解一元二次方程，这为本节课求根公式的推导做好了铺垫。

九年级的学生逐渐在各个方面变得成熟，独立思考、主动探索的愿望和能力有了明显提高，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐趋完善自己的想法。

三、教学设计理念

本着人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上能得到不同发展的教育理念，结合本节课具体教学内容，我决定采用“问题情景      建立模型      解释      应用      拓展”的模式展开教学。

四、教学目标

1、知识目标：

理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次方程。

2、能力目标：

通过对求根公式的发现和探索过程，提高学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

3、情感目标：

发展学生独立思考，勇于探索的创新精神，向学生渗透转化思想，使其感受数学的内在美。

五、教学重难点：

重点：

运用公式法解一元二次方程

难点：

一元二次方程求根公式的推导

六、教学方法:

以练为主启发式探索法

七、教学流程设计:

（一）创设情景问题导入

导入语：

同学们上午好，本节课我们继续来进行我们共同探索数学奥妙的愉快之旅。

师：

出示问题1：

用配方法解下列一元二次方程

（1）x2-2x-8=0    

（2）3m2-6m+1=0

注：

先让学生独立去解决这两个问题，然后同桌互相帮助定正答案，教师引导学生复习回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤。

师：

出示问题2：

请同学们用配方法解下面这个方程

2x2-4x+10=0

师：

此一元二次方程配方以后的形式是什么？

生：

（x-1）2=-4

师：

你们能够求出这个方程的根吗？

生：

不能。

师：

从这个方程我们能够受到什么启示？

生1：

原来有的一元二次方程是没有根的。

生2:

我非常想知道没有实数根的原因。

【设计说明】

1。

复习巩固旧知识，为本节课一元二次方程求根公式的推导做铺垫。

2。

通过让学生对第二个问题的探讨，使学生认识到原来有的一元二次方程是没有实数根的，学生会很自然的产生为什么有的一元二次方程没有实数根的疑问，教师适时引导学生一元二次方程的根与一元二次方的什么有关系问题，从而激发学生的求知欲望。

（二）公式推导  探究本质

师：

通过刚才同学们的探索，我们不难发现这样一个问题，如果一个一元二次方程没有实数根，而我们却按照我们所学的用配方法去求它的实数根的时候，会做很多的无用功。

那么有没有在解一元二次方程之前，先对它根的情况进行判断，然后再去解一元二次方程的方法呢？

这就是我们本节课所要探讨的问题。

师：

板书  公式法解一元二次方程

出示问题：

（x-3）2=a

师问：

若此一元二次方程有根，则a应该具备什么条件？

若没有根，则a应该具备什么条件？

生：

（学生经过简单思考后会很容易回答这两个问题）当a≥0时，一元二次方程有根，当a＜0时，没有实数根。

【设计说明】

为公式的推导再次做好铺垫。

出示问题：

请同学们写出一元二次方程的一般形式，教师强调不要漏掉（a≠0）这一条件。

师：

请同学们默写出一元二次方程的一般形式。

生：

在练习本上写出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）

师：

对于含有数字系数的特殊一元二次方程，我们已经能够轻松、愉快地运用配方法去求它们的实数根了。

那么对一元二次方程的一般形式，我们能够用配方法去求它的实数根吗？

生：

学生尝试去推导一元二次方程的求根公式，教师巡视指导学生的推导过程，同时让一名基础较好的学生，到黑板上板演推导过程：

ax2+bx+c=0（a≠0）

ax2+bx=-c

∵a≠0

∴x2＋ x=-

配方得：

（x+ ）2=

生：

当学生探索到（x+ ）2= 的时。

师问：

我们下一步能否直接去进行开平方运算呢？

然后让学生思考讨论开方过程，使学生充分认识到b2-4ac重要性。

当b2-4ac≥0时，∴x=

当b2-4ac<0时，方程无实数根。

（学生们展开了激烈的讨论）

【设计说明】让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维。

（三）应用新知  解决问题

例：

用公式法解一元二次方程3x2-2x=1

师：

教师板演解题过程，规范学生的做题步骤，根据以往的教学经验，学生在算b2-4ac的值时把结果算成-8，从而得出此方程无实数根的错误结论。

此处强调提醒学生，做题要细心。

此处学生出错的原因大致有两个，一是把c的值看作是1，二是把b2-4ac=（-2）2-4×3×（-1）结果算成-8。

巩固练习1：

用公式法解下列一元二次方程

（1）2x2-x-1=0    

（2）x2-x+ =0  （3）4x2-3x+2=0

生：

三名学生板演解题过程。

（选三名中游水平的学生）

生1：

解答正确生2：

解答步骤不够完整  生3：

老师这个方程没有实数根

师：

你怎么知道的?

生3：

因为b2-4ac的值是－23小于0

师：

你回答很好，你考虑问题全面而谨慎。

【设计说明】此处选择了有代表性的三个一元二次方程。

通过让学生去解决这三个问题使学生认识到，原来一元二次方程的根有三种情况。

教师适时提问，一元二次方程的根的情况是由谁确定的，再次让学生感受到b2-4ac的重要性。

巩固练习2：

用公式法解下列一元二次方程（要求学生独立完成）

（1）x（2x-4）=5-8x     

（2）3x2-6x-2=0

（3）4x2-6x=0         （4）x2+4x+8=4x+11 

师:

生解决完后 ，学习小组在各自组长带领下订正答案。

生:

很快订正答案。

【设计说明】能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获，同时培养学生的团结协作意识。

（四）迁移应用拓展能力

师：

出示问题

1。

读题并解答：

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配方可将方程变形为：

（x+ ）2= 

∵a≠0 ∴4a2＞0完成下列填空：

（1）  一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况取决于     的值的符号。

生:

口答b2-4ac（还没等老师读完，学生已经集体喊出b2-4ac）

（2）某同学判断方程：

x2+2（k-2）+k2+4=0的根的情况解答如下：

解：

b2-4ac=4（k-2）2-4（k2+4）

=-16k

∵-16k＜0

∴b2-4ac＜0

∴原方程无实数根，若有错，请指出并说明理由。

生1：

没错

生2：

有错，因为-16k的值不一定小于0，当k≤0时，-16k≥0，则原方程是有根的。

师:

你回答非常好，同学们掌声鼓励。

（学生们热烈鼓掌）

【设计说明】对求根公式作进一步深化，使不同层次的学生都有不同提高，进一步巩固本节课所学知识。

2。

等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是（  ）

A。

8B。

10C。

8或10D。

不能确定

生1：

选择了答案C

生2：

生1答错了，应该选择B

师：

你能说一下为什么选择答案B呢。

生:

因为由三角形三边关系定理，排除了2，2，4这种情况。

师：

你回答非常好，你是一名善于动脑筋的学生。

师：

通过解答这个问题同学们有什么收获呢？

生1：

解答问题要审清题意。

生2：

解决问题的答案要符合我们已经学过的定理、性质、公式、公理、法则，总之要符合实际的题意。

师：

你们回答的都非常好，在刚才同学们求一元二次方程x2-6x+8=0的两根的时候，同学们用的什么解法。

生：

有的说公式法，也有说配方法。

师：

除了我们已经学过的这两种解法外，同学们有没有其他的解法呢？

生：

沉默，突然张磊磊站起来说老师我还有一种解法，不知道行不行。

师：

你大胆说，说错了没关系。

生：

我是把一元二次方程x2-6x+8=0，的左边分解为（x-2）（x-8），然后再分别令（x-2）和（x-8）等于零，求得的根。

师：

你很善于思考，老师为有你这样的学生而自豪，有没有比公式法解一元二次方程更简单的方法呢？

其实，张磊磊刚才的解法就是我们下节课所要学习的因式分解法解一元二次方程，这是我们下一节课所要探讨的问题。

【设计说明】再次巩固新知，提高学生能力。

此题既考察学生的解题能力又考察了学生的思维的缜密性，同时为下节课的学习做好铺垫。

（五）课堂小结  自主评价

师：

通过本节课的学习，同学们有哪些收获呢？

（学生抢着回答）

生1：

我知道了一元二次方程根的情况能用b2-4ac的值去判断。

生2：

我学到了求一元二次方程根的一种万能方法公式法。

生3：

生2回答不够准确应该在保证a≠0，b2-4ac≥0的情况下求一元二方程根的一种万能方法公式法。

师：

  你学习知识非常扎实，善于观察问题，同学们应该向你学习。

生4：

我知道了原来并不是所有的一元二次方程都有实数根。

……

师：

同学们说的都非常好！

只要我们用数学的眼光研究问题，就一定会有很多收获。

如果我们把有根的一元二次方程比作型号各异的锁的话，那么公式法就是打开这型号各异锁的万能钥匙,请同学们齐声颂读一元二次方程的求根公式。

作业：

必做P45第4题，选作：

阅读黄金分割数。

【设计说明】分层次布置作业，体现不同的学生在数学上得到不同的发展得教学理念。

通过让学生课后自学黄金分割数，向学生渗透数学的内在美，同时也是教学目标在课后的延伸。

教学反思：

本节课我以问题导入，激发学生的探知兴趣，在复习旧知的基础上引出对新知识的学习。

教学过程中，充分发挥了学生的自主学习的积极性，探索、发现、总结并通过课堂训练予以巩固。

学生活动的充分保障了课堂教学的效果。

通过本节课的教学，我发现学生能够掌握本节课的学习内容。

实现了学生的均衡提高，组织互助与合作。

通过小组学习的方式给学生创造一个小范围的展示机会，避免学生因基础差而可能存在的羞于表达的心理因素。