届高三数学第一次模拟考试试题文实验班Word格式.docx
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B．﹣
C．
D．﹣
5.已知单调递增的等比数列{an}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{an}的前n项和Sn=（ ）
C．2n﹣1
D．2n+1﹣2
6.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是
（ ）
A.（﹣1，+∞）B.（﹣∞，﹣1）
C.（1，+∞）D.（﹣∞，1）
7.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）
A．1﹣
D．1﹣
8.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）
A．200π
B．50π
C．100π
D．π
9.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
D．
10.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（ ）
A．k＜6？
B．k＜7？
C．k＞6？
D．k＞7？
11.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．（]
B．（）C．（]
D．（）
12.已知定义在R上的函数y=f（x）满足：
函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f（6
0.6），则a，b，c的
大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]
13.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为 ．
14.若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m= ．
15.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为 ．
16.函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（
x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g
（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是 ．
三.解答题（共8题，共70分）
17.（本题满分12分）
在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an．
（Ⅰ）证明数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2（an+1），{bn}的前n项和为Sn，求证＜2．
18.（本题满分12分）
某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×
2列联表：
非优良
优良
总计
未设立自习室
25
15
40
设立自习室
10
30
35
45
80
（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
K2=，其中n=a+b+c+d）
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°
，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：
AD⊥PB；
（2）已知点M是线段P
C上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．
20.（本题满分12分）
已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一
个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：
OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．
（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x
轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？
如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．
选做题（本题满分10分）
22.
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
23.
已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
2017届高三年级第一次高考模拟参考答案数学
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
答案
A
B
D
C
13.
14.8
15.16π
16.[3e3，+∞）
17.
（Ⅰ）由an+2=3an+1﹣2an得：
an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），
又∵a1=1，a2=3，即a2﹣a1=2，
所以，{
an+1﹣an}是首项为2，公比为2的等比数列．
an+1﹣an=2×
2n﹣1=2n，
an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an
﹣an﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1；
（Ⅱ）bn=log2（an+1）=log22n=n，
Sn=，，
所以
=2＜2．
18.
（1）由2×
2列联表，计算K2的观测值为
k==＞7.879，
对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，
认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）根据分层抽样原理，
从第一次月考数学优良成绩中抽取×
5=3个，记为A、B、C；
从第二次月考数学优良成绩中抽取×
5=2个，记为d、e；
则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，
其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有
AB、AC、BC、de共4个，
故所求的概率为P==
．
19.
（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°
，
∴△ABD为正三角形，
又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，
∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．
解：
（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，
∵AQ∥BC，∴，
∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，
平面MQB∩平面PAC=MN，
∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，
∴，
综上，得，∴MC=2PM，
∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．
20.
（1）依题意有解得
所以椭圆C的标准方程为+=1．
（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，
y0），
由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．
由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
所以，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．
从而，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．
②由两点间距离公式得，
由弦长公式得==，
令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），
所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．
21.
（Ⅰ）b=1时，
函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，
则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣
因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'
（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．
①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；
②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；
则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．
综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，
则点P、Q的横坐标为，
C1点在P处的切线斜率为，
C2点Q处的切线斜率为
假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2
即，则
∴．
设，则①
令．
则
因为t＞1时，r'
（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．
故r（t）＞r
（1）=0
则．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．
（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．
由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0
（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d=
=，
当cos（θ+45°
）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0
23.
（1）法一：
f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，
∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，
∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为
a+，
∴a+=1，2a+b=2；
法二：
∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，
显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（）=a+，
∴a+=1，2a+b=2．
（2）方法一：
∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
=+=（+）（2a+b）•=（1+4++），
当a=b=时，取得最小值，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法二：
∵a+2b≥tab恒成立，
∴≥t恒成立，
t≤=+恒成立，
+=+≥=，
方法三
：
∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，
∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，
∴（3+2t）2﹣326≤0，
∴≤t≤，实数t的最大值为．
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