届高考数学理科一轮复习北师大版题库第7章71不等关系与不等式.docx

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届高考数学理科一轮复习北师大版题库第7章71不等关系与不等式

§7.1　不等关系与不等式

1．两个实数比较大小的方法

作差法（a，b∈R）．

2．初中学习的不等式的重要性质

（1）若a>b，b>c，则a>c；

（2）若a>b，则a＋c>b＋c；

（3）若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac

3．不等式的主要性质总结

（1）若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；

（2）若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；

（3）若a>b>0，则an>bn（n∈N＋）；

（4）若a>b>0，则>（n∈N＋）．

4．不等式的一些常用性质

（1）倒数的性质

①a>b，ab>0⇒<.

②a<0

③a>b>0,0.

④0

（2）有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>（b－m>0）．

②>；<（b－m>0）．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）a>b⇔ac2>bc2.（　×　）

（2）a>b>0，c>d>0⇒>.（　√　）

（3）若ab>0，则a>b⇔<.（　√　）

（4）若>1，则a>b.（　×　）

（5）若a>b>1，c<0，则logb（a－c）>loga（b－c）．（　√　）

（6）若<<0，则|a|>|b|.（　×　）

1．（2014·四川）若a>b>0，c

A.>B.<

C.>D.<

答案　D

解析　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，

则＝－1，＝－1，

所以A，B错误；

＝－，＝－，

所以<，

所以C错误．故选D.

2．设a

A.>B.>

C．|a|>－bD.>

答案　B

解析　由题设得a

即>不成立．

3．若<<0，则下列不等式：

①a＋b|b|；③a2中，正确的有（　　）

A．①②B．②③

C．①④D．③④

答案　C

解析　∵<<0，∴b0，>0，>0，∴a＋b2＝2（因为b≠a，故等号不能取到）．故①④正确．

4．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________．

答案　a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1

解析　∵a1b1＋a2b2－（a1b2＋a2b1）

＝a1（b1－b2）＋a2（b2－b1）

＝（b1－b2）（a1－a2），

∵a1≤a2，b1≥b2，

∴（b1－b2）（a1－a2）≤0，

∴a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.

题型一　用不等式（组）表示不等关系

例1　某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？

解　若提价后商品的单价为x元，

则销售量减少×10件，

因此，每天的利润为（x－8）[100－10（x－10）]元，

则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式

（x－8）[100－10（x－10）]≥300.

思维升华　对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．

　已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

甲

乙

维生素A（单位/kg）

600

700

维生素B（单位/kg）

800

400

设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________．

答案　

题型二　比较大小

例2　

（1）已知a1，a2∈（0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．MN

C．M＝ND．不确定

（2）若a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a

C．c

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1

＝a1（a2－1）－（a2－1）

＝（a1－1）（a2－1），

又∵a1∈（0,1），a2∈（0,1），

∴a1－1<0，a2－1<0.

∴（a1－1）（a2－1）>0，即M－N>0.

∴M>N.

（2）方法一　易知a，b，c都是正数，＝

＝log8164<1，

所以a>b；

＝＝log6251024>1，

所以b>c.即c

方法二　对于函数y＝f（x）＝，y′＝，

易知当x>e时，函数f（x）单调递减．

因为e<3<4<5，所以f（3）>f（4）>f（5），

即c

思维升华　比较大小的常用方法

（1）作差法：

一般步骤：

①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

（2）作商法：

一般步骤：

①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．

（3）函数的单调性法：

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．

（1）如果a

A.

C．－ab<－a2D．－<－

（2）（2013·课标全国Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）对于A项，由a0，ab>0，

故－＝>0，

>，故A项错误；

对于B项，由a0，ab>b2，故B项错误；

对于C项，由a0，a2>ab，

即－ab>－a2，故C项错误；

对于D项，由a0，

故－－（－）＝<0，

－<－成立．故D项正确．

（2）因为log32＝<1，log52＝<1，又log23>1，所以c最大．又1，即a>b，所以c>a>b，选D.

题型三　不等式性质的应用

例3　已知a>b>0，给出下列四个不等式：

①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.

其中一定成立的不等式为（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

答案　A

解析　方法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立；

由a>b>0可得a>b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，

∴f（a）>f（b－1），即2a>2b－1，②成立；

∵a>b>0，∴>，

∴（）2－（－）2

＝2－2b＝2（－）>0，

∴>－，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，

a3＋b3<2a2b，④不成立．

故选A.

方法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.

思维升华　

（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

（2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

（1）设a，b是非零实数，若a

A．a2

C.

（2）已知a，b，c∈R，有以下命题：

①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则a·2c>b·2c.

其中正确的是________．（填上所有正确命题的序号）

答案　

（1）C　

（2）②③

解析　

（1）当a<0时，a2

因为ab2－a2b＝ab（b－a），

b－a>0，ab符号不确定，

所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．

因为－＝<0，

所以<，故C正确．

D项中与的大小不能确定．

（2）①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．

不等式变形中扩大变量范围致误

典例：

设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，则f（－2）的取值范围是________．

易错分析　解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f（－2）＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．

解析　方法一　设f（－2）＝mf（－1）＋nf

（1）（m、n为待定系数），则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），

即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b，

于是得解得

∴f（－2）＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，即5≤f（－2）≤10.

方法二　由

得

∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.

方法三　由

确定的平面区域如图阴影部分，

当f（－2）＝4a－2b过点A（，）时，

取得最小值4×－2×＝5，

当f（－2）＝4a－2b过点B（3,1）时，

取得最大值4×3－2×1＝10，

∴5≤f（－2）≤10.

答案　[5,10]

温馨提醒　

（1）此类问题的一般解法：

先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；

（2）求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.

方法与技巧

1．用同向不等式求差的范围．

⇒⇒a－d

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．

2．倒数关系在不等式中的作用．

⇒<；⇒>.

3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：

作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．

4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．

失误与防范

1．a>b⇒ac>bc或a

2．a>b⇒<或a，当ab≤0时不成立．

3．a>b⇒an>bn对于正数a、b才成立．

4.>1⇔a>b，对于正数a、b才成立．

5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：

a>b，b>c⇒a>c，其中a>c不能推出.

6．比商法比较大小时，要注意两式的符号.

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由同向不等式的可加性知“a>b且c>d”⇒“a＋c>b＋d”，反之不对．

2．若<<0，则下列结论不正确的是（　　）

A．a2

C．a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|

答案　D

解析