最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料.docx

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最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料

数学竞赛中几个重要定理

1、梅涅劳斯定理：

如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=1

2、梅涅劳斯定理的逆定理：

如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足=1，则D、E、F三点共线.

【例1】已知△ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线AB边于X，交AC

边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P.

证明：

△MPQ∽△ABC

【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：

AM⊥BC

【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：

P，E，F三点共线.

【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点.

求证：

∠OPF=∠OEP

【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F.

若BE：

ED=2AC：

DC，则∠ADB=∠FDC

塞瓦定理：

设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则

塞瓦定理的逆定理：

设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点.

【例1】BE是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，

过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：

△LMN为正三角形.

【例2】在△ABC中，D是BC上的点=，E是AC中点.AD与BE交于O，CO交AB于F

求四边形BDOF的面积与△ABC的面积的比

【练习1】设P为△ABC内一点，使∠BPA=∠CPA，G是线段AP上的一点，直线BG，CG分别交边AC，AB于E，F.求证：

∠BPF=∠CPE

【练习2】在△ABC中，∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分∠BAC，过点D作垂线DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K.求证：

AK⊥BC

托勒密定理：

四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD

【例1】已知在△ABC中，AB>AC，∠A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：

2AF=AB-AC

【例2】经过∠XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P，Q.

求证：

+为定值

【例3】解方程+=

【练习1】设AF为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B，C分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC，∠BAF，∠CAF的平分线交⊙O1，⊙O2于点D，E.求证：

DE⊥AF

【练习2】⊙O为正△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，在弧BC上任取一点P（与B，C不重合）.设E，F分别为△PAB，△PAC的内心.证明：

PD=∣PE-PF∣

西姆松定理：

点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线.

【例1】过正△ABC外接圆的弧AC上点P作PD⊥直线AB于D,作PE⊥AC于E,作PF⊥BC于F.

求证：

+=

【练习1】设P为△ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在的直线的对称点分别为P1，P2.求证：

直线P1P2经过△ABC的垂心.

三角形的五心

内心

【例1】设点M是△ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：

AE等于内切圆半径r

【例2】在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K.O，I分别为△ABC的外心，内心.求证：

OI⊥AK

【练习】在△ABC中，∠BAC=300，∠ABC=700，M为形内一点，∠MAB=∠MCA=200

求∠MBA的度数.

外心

【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，

∠ACB=6∠OMN.求∠OMN

【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：

BE=FD.

【练习】1、⊙O1与⊙O2相交于P，Q，⊙O1的弦PA与⊙O2相切，⊙O2的弦PB与⊙O1相切.

设△PAB的外心为O，求证：

OQ⊥PQ

重心

【例1】在△ABC中，G为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC，CA，AB于F，E，D.

求证：

++=3

【例2】已知△ABC的重心G和内心I的连线GI∥BC，求证：

AB+AC=2BC

【练习】1、设M为△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC的面积.

2、设O是△ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是△ACD的重心，求证：

OG⊥CD

垂心

三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.

【例1】△ABC的外接圆为⊙O，∠C=600，M是弧AB的中点，H是△ABC的垂心.

求证：

OM⊥OH

【例2】已知AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高，过D作EF的平行线RQ，RQ分别交AB和AC于R，Q，P为EF与CB的延长线的交点.证明：

△PQR的外接圆通过BC的中点M.

旁心

【例1】在锐角∠XAY内部取一点，使得∠ABC=∠XBD，∠ACB=∠YCD.

证明：

△ABC的外心在线段AD上.

【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB

△AI1I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.

证明：

I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.

相交两圆的性质与应用

【例1】证明：

若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB.证明：

∠BAC=∠DAE

【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：

PQ1=PQ2

【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：

∠DMA=∠CKB

其他的一些数学竞赛定理

1、广勾股定理的两个推论：

推论1：

平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.

推论2：

设△ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc

则：

ma=；mb=；mc=

2、三角形内、外角平分线定理：

内角平分线定理：

如图：

如果∠1=∠2，则有

外角平分线定理：

如图，AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D，

则有

3、三角形位似心定理：

如图，若△ABC与△DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P

4、正弦定理、在△ABC中有（R为△ABC外接圆半径）

余弦定理：

a、b、c为△ABC的边，则有：

a2=b2+c2-2bc·cosA;

五、创业机会和对策分析b2=a2+c2-2ac·cosB;c2=a2+b2-2ab·cosC;

送人□有实用价值□装饰□

据统计，上海国民经济持续快速增长。

03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。

第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。

§8-4情境因素与消费者行为2004年3月20日

（二）创业弱势分析

（3）个性体现5、欧拉定理：

△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：

d2=R2-2Rr.

（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析

标题：

大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日

我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。

2、传统文化对大学生饰品消费的影响

6、巴斯加线定理：

圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线.