解析版中考数学常考易错点1《二次函数的图象与性质》Word格式文档下载.docx
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∴ a<
0.
∴ 8a+7b+2c>
0.所以③正确.
∵ 对称轴为直线x=2,
∴ 当-1<
x<
2时,y的值随x值的增大而增大,当x>
2时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B.
【误区纠错】 本题考查了二次函数图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>
0时,抛物线向上开口;
当a<
0时,抛物线向下开口;
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时（即ab>
0）,对称轴在y轴左;
当a与b异号时（即ab<
0）,对称轴在y轴右;
常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）;
抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>
0时,抛物线与x轴有2个交点;
Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
Δ=b2-4ac<
0时,抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数和最值问题
【例2】 （2014·
浙江舟山）当-2≤x≤1时,二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4,则实数m的值为（ ）.
【解析】 二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.
【答案】 二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<
-2时,x=-2时二次函数有最大值,
此时-（-2-m）2+m2+1=4,解得m=-,与m<
-2矛盾,故m值不存在.
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m2+1=4,
【误区纠错】 本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.
名师点拨
1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.
2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.
3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.
4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.
提分策略
1.二次函数的图象与性质的应用.
（1）求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:
①配方法;
②顶点公式法,顶点坐标为.
（2）画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;
②对称轴;
③顶点;
④与y轴交点;
⑤与x轴交点.
【例1】
（1）用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=（x-h）2+k的形式;
（2）在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;
（3）若A（x1,y1）,B（x2,y2）是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<
x2<
1,请比较y1、y2的大小关系（直接写结果）;
（4）把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来.
【解析】
（1）根据配方法的步骤进行计算.
（2）由
（1）得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.
（3）开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.
（4）抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.
【答案】
（1）y=x2-4x+3=（x2-4x+4）+3-4=（x-2）2-1.
（2）由
（1）知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,-1）,列表如下:
x
…
1
2
3
4
y
-1
描点作图如图.
（3）y1>
y2.
（4）如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.
2.二次函数的解析式的求法.
二次函数的关系式有三种:
（1）一般式y=ax2+bx+c;
（2）顶点式y=a（x-m）2+n,其中（m,n）为顶点坐标;
（3）交点式y=a（x-x1）（x-x2）,其中（x1,0）,（x2,0）为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;
已知顶点及另一个点坐标用顶点式;
已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.
【例2】 已知抛物线经过点A（-5,0）,B（1,0）,且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.
【解析】 根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.
3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用.
二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由
的符号确定.
【例3】 （2014·
天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:
①b2-4ac>
②abc<
③m>
2.
其中,正确结论的个数是（ ）.
A.0B.1
C.2D.3
【解析】 由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;
先根据抛物线的开口向下可知a<
0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;
一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.
【答案】 ①∵ 二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,
∴ b2-4ac>
0,故①正确.
②∵ 抛物线的开口向下,
∵ 抛物线与y轴交于正半轴,
∴ c>
∵ 对称轴
∴ ab<
∵ a<
∴ b>
∴ abc<
0,故②正确.
③∵ 一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,
∴ y=ax2+bx+c和y=m没有交点.
由图可得,m>
2,故③正确.
故选D.
4.二次函数的图象的平移规律的应用.
（1）采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.
（2）平移的变化规律可为:
①上、下平移:
当抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m>
0）个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a（x-h）2+k+m;
当抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m>
0）个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a（x-h）2+k-m.
②左、右平移:
当抛物线y=a（x-h）2+k向左平移n（n>
0）个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a（x-h+n）2+k;
当抛物线y=a（x-h）2+k向右平移n（n>
0）个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a（x-h-n）2+k.
【例4】 （2014·
甘肃兰州）把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为（ ）.
A.y=-2（x+1）2+2B.y=-2（x+1）2-2
C.y=-2（x-1）2+2D.y=-2（x-1）2-2
【解析】 根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:
“左加右减,上加下减.”
【答案】 把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2（x-1）2+2,故选C.
专项训练
一、选择题
1.（2014·
江苏句容一模）若抛物线y=mx2+（m-3）x-m+2经过原点,则m的值为（ ）.
2.（2014·
辽宁营口模拟）在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数,且m≠0）的图象可能是（ ）.
3.（2014·
安徽安庆正月21校联考）抛物线y=ax2+bx-3经过点（2,4）,则代数式8a+4b+1的值为（ ）.
A.3B.9
C.15D.-15
4.（2013·
山东德州一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:
①abc>
②a+b+c=2;
③
④b>
1.其中正确的结论是（ ）.
A.①②B.②③
C.③④D.②④
（第4题）
（第5题）
5.（2013·
山西中考模拟六）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a,b为常数）的图象如图,则a的值为（ ）.
6.（2013·
浙江湖州中考模拟试卷）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）.
二、填空题
7.（2014·
安徽安庆正月21校联考）如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒.
（第7题）
8.（2014·
甘肃天水模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点（-3,0）.下列说法:
（1）abc<
（2）2a-b=0;
（3）4a+2b+c=0;
（4）若（-5,y1）,
是抛物线上两点,则y1>
y2.其中说法正确的是 .（填序号）
（第8题）
9.（2014·
辽宁大连二模）如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是 .
（第9题）
10.（2014·
山东德城模拟）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B（3,0）,则由图象可知,不等式ax2+bx+c>
0的解集是 .
（第10题）
11.（2013·
江苏东台实中）已知抛物线与x轴两交点分别是（-1,0）,（3,0）,另有一点（0,-3）也在图象上,则该抛物线的关系式是 .
12.（2013·
北京龙文教育一模）点A（x1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2>
x1>
1,则y1与y2的大小关系是y1 y2.（用“>
”“<
”或“=”填空）
13.（2013·
河北一模）如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O（0,0）和A（3,2）两点,则不等式ax2+bx<
kx的解集为 .
（第13题）
三、解答题
14.（2014·
北京平谷区模拟）已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.
（1）求证:
无论m取任何实数时,方程总有实数根;
（2）关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过（k-1,k2-6k+8）和（-k+5,k2-6k+8）两点.
①求这个二次函数的解析式;
②把①中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线
.设抛物线C2交x轴于M,N两点（点M在点N的左侧）,点P（a,b）为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°
时,直接写出a的取值范围.
（第14题）
15.（2014·
安徽安庆二模）如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°
AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°
记四边形PEBF的面积为S1.
∠APE=∠CFP;
（2）记△CPF的面积为S2,CF=x.
①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;
②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.
（第15题）
16.（2013·
山东德州一模）如图,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为（-3,0）,（0,4）,抛物线y=
+bx+c经过点B,且顶点在直线
上.
（1）求抛物线对应的函数关系式;
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
（3）若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
（第16题）
参考答案与解析
1.C [解析]将（0,0）代入函数关系式即可.
2.D [解析]假设函数在D选项中正确,则m<
∴ -m>
0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标
.
所以D正确,别的选项这种假设均不成立.
3.C [解析]将点（2,4）代入抛物线方程,得4a+2b-3=4,
∴ 4a+2b=7.
∴ 8a+4b+1=2×
7+1=15.
4.D [解析]①∵ 抛物线的开口向上,
∴ a>
∵ 与y轴的交点为在y轴的负半轴上,
∴ c<
∵ 对称轴为
∴ a,b同号,即b>
故本结论错误.
②当x=1时,函数值为2,
∴ a+b+c=2.故本结论正确.
③∵ 对称轴
解得
又 b>
1,
∴
.故本结论错误.
④当x=-1时,函数值<
0,即a-b+c<
0
（1）,
又a+b+c=2,将a+c=2-b代入
（1）式,得2-2b<
1.故本结论正确.
综上所述,其中正确的结论是②④.
5.D [解析]由题意,知a2-2=0,且a>
6.C [解析]当a>
0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;
由B,C中二次函数的图象可知,对称轴
且a>
0,则b<
0,但B中,一次函数a>
0,b>
0,排除B.
7.36 [解析]10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需18×
2=36秒.
8.
（1）
（2）（4） [解析]其对称轴为x=-1,且过点（-3,0）,则另一个交点是（1,0）.
当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c>
∴ （3）错误,其余的均正确.
9.2≤x≤3或-1≤x≤0 [解析]把（3,2）代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1时,x=-1或x=2,观察可知:
使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是2≤x≤3或-1≤x≤0.
10.x<
-1或x>
3 [解析]观察可知抛物线与x轴另一交点为（-1,0）,所以不等式ax2+bx+c>
0的解集是x<
3.
11.y=x2-2x-3 [解析]用待定系数法求二次函数解析式.
12.<
[解析]先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1,再根据二次函数图象上的点,x>
1时,y随x的增大而增大.
13.0<
3 [解析]利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.
14.
（1）在x2-mx+m-1=0中,
Δ=m2-4（m-1）=m2-4m+4=（m-2）2.
∵ 当m取任何值时,（m-2）2≥0,
∴ 无论m取任何实数时,方程总有实数根.
（2）①∵ 抛物线y1=x2-mx+m-1过点（k-1,k2-6k+8）和点（-k+5,k2-6k+8）,
15.
（1）∵ ∠EPF=45°
∴ ∠APE+∠FPC=180°
-45°
=135°
在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°
则∠CFP+∠FPC=180°
∴ ∠APE=∠CFP.
（2）①∵ ∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°
在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,
又 P为AC的中点,则AP=CP=2,
如图
（1）,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
（第15题
（1））
∵ E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°
∴ 2≤x≤4.
②如图
（2）所示:
（第15题
（2））
图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,
此时EB=BF,即AE=FC,
（2）在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BC=CD=DA=AB=5.
∴ C,D两点的坐标分别是（5,4）,（2,0）.
∴ 点C和点D在所求抛物线上.
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