复变函数总结完整版.docx

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复变函数总结完整版

第一章复数

1=-1欧拉公式z=x+iy

实部Rez虚部Imz

2运算①

②

③

④

⑤共轭复数

共轭技巧

运算律P1页

3代数，几何表示

z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Argz辐角主值记作=

4如何寻找argz

例：

z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1π

5极坐标：

，

利用欧拉公式

可得到

6高次幂及n次方

凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

即

第二章解析函数

1极限

2函数极限

1复变函数

对于任一都有与其对应

注：

与实际情况相比，定义域，值域变化

例

②称当时以A为极限

☆当时，连续

例1证明在每一点都连续

证：

所以在每一点都连续

3导数

例2时有

证：

对有所以

例3证明不可导

解：

令

当时，不存在，所以不可导。

定理：

在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件且

例4证明不可导

解：

其中u,v关于x,y可微

不满足C-R条件所以在每一点都不可导

例5

解：

不满足C-R条件所以在每一点都不可导

例6：

解：

其中

根据C-R条件可得

所以该函数在处可导

4解析

若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

用C-R条件必须明确u,v

四则运算

☆

例：

证明

解：

则

任一点处满足C-R条件

所以处处解析

练习：

求下列函数的导数

解:

所以

根据C-R方程可得

所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数

①定义域②③④

Ⅲ对数函数称满足的叫做的对数函数，记作

分类：

类比的求法（经验）

目标：

寻找幅角主值

可用：

过程：

所以

例：

求的值

Ⅳ幂函数对于任意复数，当时

例1：

求的值

解：

例2：

求

Ⅴ三角函数

定义：

对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

例：

求

解：

第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

注：

①C是线②方式跟一元一样

方法一：

思路：

复数→实化

把函数与微分相乘，可得

方法二：

参数方程法☆核心：

把C参数

C：

例：

求①C：

0→的直线段②；

解：

①C：

②

★结果不一样

2柯西积分定理

例：

C：

以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：

逆时针

解：

C：

☆积分与路径无关：

①单联通②处处解析

例：

求，其中C是连接O到点的摆线：

解：

已知，直线段L与C构成一条闭曲线。

因在全平面上解析，

则

即

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。

由于

故

★关键：

①恰当参数②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

定理3.7若可用上式，则

例：

计算

解：

练习：

计算

解：

4柯西积分公式

定理处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：

①C：

②一次分式

③找到在D内处处解析

例4：

解：

5解析函数的高阶导数

公式：

n=1，2……

应用要点：

①

②

③精准分离

例：

6调和函数

若满足则称叫做D内的调和函数

若在D内解析

所以

把称为共轭调和函数

第四章级数理论

1复数到距离

谈极限对若有使得

此时为的极限点记作或

推广：

对一个度量空间都可谈极限

2极限的性质

3

4级数问题

部分和数列

若则收敛，反之则发散。

性质：

1若都收敛，则收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散

3

若绝对收敛

若但收敛，为条件收敛

等比级数：

时收敛，其他发散

幂级数

则

求收敛域

例：

求的收敛半径及收敛圆

解：

因为所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

泰勒级数

泰勒定理：

设函数在圆K：

内解析，则在K内可以展成幂级数

其中，，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

例1：

求在处的泰勒展式

解：

在全平面上解析，，

所以在处的泰勒展式为

例2：

将函数展成的幂级数

解：

罗朗级数

罗朗定理若函数在圆环D：

内解析，

则当时，有

其中

例：

将函数在圆环

（1）

（2）

内展成罗朗级数。

解：

（1）在内，由于，所以

（2）在内，由于，所以

孤立奇点

定义：

若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

例：

为可去奇点

为一级极点

为本性奇点

第5章留数理论（残数）

定义：

设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

记作：

其中，，C的方向是逆时针。

例1：

求函数在处的留数。

解：

因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

例2：

求函数在处的留数

解：

是的本性奇点，因为

所以

可得

第7章傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：

对满足某些条件的函数在上有定义，则称

为傅里叶变换。

同时为傅里叶逆变换

注：

①傅里叶变换是把函数变为函数

②傅里叶逆变换是把函数变为函数

③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：

凑微分、分部积分

复习积分：

①

②

③

④

⑤

注：

例1：

求的

解：

例2：

求的

解：

-函数

定义：

如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

例1：

求-函数的

解：

例2：

求正弦函数的傅氏变换

解：

☆

第8章拉普拉斯变换

设在时有定义