勾股定理及其逆定理教学设计 人教版精品篇.docx

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勾股定理及其逆定理教学设计人教版精品篇

《勾股定理及其逆定理》教案

18．1勾股定理

（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的内容及证明。

2．难点：

勾股定理的证明。

3．难点的突破方法：

几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。

在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。

水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。

几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

六、课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

八、参考答案

课堂练习

1．略；

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=AB；⑶AC=AB；⑷AC2+BC2=AB2。

3．∠B，钝角，锐角；

4．提示：

因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=（a+b）2，

S△BCE=S△EDA=ab，S△ABE=c2,（a+b）2=2×ab＋c2。

课后练习

1．⑴c=；⑵a=；⑶b=

2．；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。

3．5秒或10秒。

4．提示：

过A作AE⊥BC于E。

18．1勾股定理

（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的简单计算。

2．难点：

勾股定理的灵活运用。

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。

⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力

⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。

六、课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

七、课后练习

1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

八、参考答案

课堂练习

1．17；；6，8；6，8，10；4或；，；

2．8；3．48。

课后练习

1．24；4；3；6；12；10；2．

18．1勾股定理（三）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的应用。

2．难点：

实际问题向数学问题的转化。

3．难点的突破方法：

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。

三、例题的意图分析

例1（教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P75页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其它两边的变化。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

五、例习题分析

例1（教材P74页探究1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材P75页探究2）

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计