分段线性插值函数的编程实现.docx
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分段线性插值函数的编程实现
1问题的提出
对在（-5，5）上进行分段线性插值，取不同节点个数，得到不同分段线性插值函数.
虽然MATLAB里有直接分段线性插值的函数，但为了对分段插值算法有更明确的理解，编写该程序是有必要的.
需要解决的问题：
1、由已知数据节点编写程序，实现分段线性插值函数，从而能由所编函数得到非节点的函数值.
2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系.
2理论基础
分段线性插值适用于计算简单、光滑性要求不高的插值问题，且其整体逼近的效果较好.
从几何意义上看，分段线性插值就是用折线近似代替曲线.
设在区间[a,b]上取n+1个点
函数在上述节点处的函数值为
于是得到n+1个点
连接相邻两点和，得一折线函数，若满足：
（1）在[a,b]上连续;
（2）;
（3）在每个小区间上是线性函数,
则称折线函数为分段线性插值函数.
模型一：
由分段线性插值函数的定义可知，在每个小区间上可表为
.
是一分段函数，若用基函数表示，只需对令
显然，是分段的线性连续函数，且满足
于是
模型二：
首先确定间隔序列，使得：
第二个量是局部变量，其定义为：
最后一个量是一阶均差
则插值基函数可表示为
截断误差为：
若,令当时
从而
当时有即收敛于。
3编程过程
1、模型一：
用MATLAB分别建立m文件：
（1）原函数fd1.m
（2）分段线性插值函数fd2.m
（3）比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m
2、选取插值节点数为偶数
在MATLAB窗口中执行：
fd3n=2的数据见附录，图像如下：
n=8的图如下:
n=20的图
3、模型二：
用MATLAB分别建立m文件：
（1）分段插值函数fd22
（2）插值效果比较函数fd32（选取插值节点数为奇数）
源程序（参见附录）.
在MATLAB窗口中执行：
fd32
得下图：
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像：
3、由上所有的图可看出，由于原函数是偶函数，等距节点所得插值函数有很强对称性，下任取节点，
编写程序fd33.m，得图.
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像:
4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和，程序模板为d1.m
得下图:
红星由fd32得奇数节点误差平方和，绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和，圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录.
4结果分析
1、不同插值节点数所得的分段线性插值函数，在节点处与原函数的函数值一定相同.
2、所得的分段线性插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方，与原函数的误差比较大.
3、由误差平方和e，插值节点个数越多，e有减小的趋势，最后趋于0.只考虑奇数或偶数个节点，则随节点数增加e严格减小.
4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好.
5结论
插值节点个数越多，分段线性插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,插值效果越好.
参考文献
[1]李庆杨,王能超.数值分析.（第4版）[M].武汉:
华中科技大学出版社，2006：
13-24.
[2]肖筱南,赵来军.现代数值计算方法.[M].北京:
北京大学出版社，2003：
146-149.
[3]吴勃英,王德明.数值分析原理.[M].北京:
科学出版社，2003：
132-134.
[4]刘卫国编.MATLAB程序设计教程.[M].北京:
中国水利水电出版社，2001：
1-180.
[5]蔺小林,蒋耀林.现代数值分析.[M].北京：
国防工业出版社，2004：
184-186.
附录
程序如下：
%fd1.m线性插值原函数
functiony=fd1（x）
y=1./（1+x.^2）;
%fd2.m分段线性插值函数
functionyi=fd2（x,y,xi）
n=length（x）;
m=length（y）;
ifn~=m
error（'X和Y向量的长度必须相同'）;
return;
end
fork=1:
n-1
ifabs（x（k）-x（k+1））error（'数据有误'）;
return;
end
ifx（k）<=xi&xi<=x（k+1）%保证x（k）temp=x（k）-x（k+1）;
yi=（xi-x（k+1））/temp*y（k）+（xi-x（k））/（-temp）*y（k+1）
return;
end
end
%fd3.m比较插值效果
a=-5;
b=5;
n=input（'请输入分端节点数：
'）;
ifn<=0
error（'你输入的数据有误！
'）;
break;
end
h=（b-a）/（n-1）;%求节点
x=a:
h:
b;
y=fd1（x）;
xx=a:
0.1:
b;%用分段线性插值函数求非节点函数值
yyi=fd1（xx）;
m1=length（xx）;
z=zeros（1,m1）;
fork1=1:
m1
z（k1）=fd2（x,y,xx（k1））;
end
w=z-yyi;%计算误差
subplot（2,1,1）;plot（x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k:
'）;%插值图像
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
title（'原函数（实线）-插值函数（虚线）'）;
holdon
subplot（2,1,2）;plot（xx,w,'k:
'）;%误差的图像
xlabel（'x'）;
ylabel（'R（x）'）;
title（'误差分析'）;
holdon
xx=xx';
yyi=yyi';
z=z';
w=w';
%fd22.m分段线性插值函数
functionv=fd22（x,y,u）
delta=diff（y）./diff（x）;
n=length（x）;
k=ones（size（u））;
forj=2:
n-1
k（x（j）<=u）=j;
end
s=u-x（k）;
v=y（k）+s.*delta（k）;
%fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像
clear
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['k''g''r''c''m'];
fori=1:
5
n=2*i+1;
x=linspace（-5,5,n）;%把区间[-55]分为（n－1）份，算插值节点
y=fd1（x）;
p=fd22（x,y,t）;p=p';%计算以（x，y）为插值点的插值函数在t处的各个值
y1=fd1（t）;y1=y1';
e=p-y1;%计算误差
subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdon;%画出插值函数图像及误差图像
subplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdon;
end
subplot（2,1,1）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,2）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,1）;
fplot（@fd1,[-55],'k'）;%画出原函数图像
holdoff
%fd33.m插值节点非等分区间获得
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['k''g''r''c''m'];
fori=1:
5
n=2*i+1;
x=[-5rand（1,n-2）*10-55];%得（-5，5）上的n维随机向量
x=sort（x）;
y=fd1（x）;
p=fd22（x,y,t）;p=p';
y1=fd1（t）;y1=y1';
e=p-y1;
subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdon;
subplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdon;
end
subplot（2,1,1）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,2）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,1）;
fplot（@fd1,[-55],'k'）;
holdoff
%fd1.m比较不同节点数误差平方和
clear
t=[-5:
0.01:
5];a=[];b=[];
fori=1:
10
n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点
x=linspace（-5,5,n）
y=fd1（x）;
p=fd22（x,y,t）;
y1=fd1（t）;
e=p-y1;
e=e*e';
a=[ae];
b=[bn];
end
plot（b,a,'go'）
xlabel（'n节点数'）
ylabel（'e误差平方和'）
holdon
n=2的数据：
X
Y
YI（原函数）
W
-5.0000
0.0385
0.0385
0
-4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
-4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
-4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
-4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
-4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
-4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
-4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
-4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
-4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
-4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
-3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
-3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
-3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
-3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
-3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
-3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
-3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
-3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
-3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
-3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
-2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
-2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
-2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
-2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
-2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
-2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
-2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
-2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
-2.1000
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