最新毕业论文行列式的若干应用.docx
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最新毕业论文行列式的若干应用
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行列式的若干应用
TheNumberofApplicationsofTheDeterminants
专业:
数学与应用数学
作 者:
指导老师:
学校
时间
摘要
行列式是数学研究中的一类重要的工具之一,它的应用非常广泛.本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述:
探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用,如在因式分解中应用,证明不等式以及恒等式;最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.
关键词:
行列式;矩阵;线性方程组;秩;因式分解;平面组;点组
Abstract
Determinantisakindofimportanttoolsinthemathematicalstudy,itisaverywiderangeofapplications.Inthispaper,wehavebeentodiscussfromthefollowingthreeaspectsoftheapplicationsofthedeterminants:
Toexploretherelationshipbetweenthedeterminantandlinearequationsandtheapplicationinthesolutionoflinearequations;examplesoftheapplicationofthedeterminantinalgebra,suchastheapplicationoffactorization,toprovethatinequalityandidentity;inthefinal,wehavemadeoverviewofthenumberofapplicationsofthedeterminantsinanalyticgeometry.
Keywords:
Determinant;Matrix;Linearequations;Rank;Factorization;Planegroup;
Pointgroup
0引言
行列式是研究数学的重要工具之一.例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置（见文[2]）、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来计算是很便利的.本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.
1行列式在线性方程组中的一个应用
设含有个变元的个一次线性方程组为
（1）
设方程组
（1）的系数矩阵的秩是,不失一般性,假定不等于零的阶行列式是
.
行列式中的元素,就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它们的原有位置排列.
我们把看作是未知数,是已知数,解方程组
（1）,得
（2）
式中是行列式的第列元素换以所成的行列式.也就是
.
把中第列移到第一列,得
.
上式右边的行列式用表示,行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成.故
.
代入
（2）式,得
或.
结论[2]:
方程组
（1）中的与成比例,式中是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.
2行列式在初等代数中的几个应用
2.1用行列式分解因式
利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.
例2.1.1分解因式：
.
解
.
例2.1.2分解因式:
.
解原式
.
2.2用行列式证明不等式和恒等式
我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.
例2.2.1已知,求证.
证明令,则
.
命题得证.
例2.2.2已知求证.
证明令,则
命题得证.
例2.2.3已知,求证.
证明令,则
而,则,命题得证.
3行列式在解析几何中的几个应用
3.1用行列式表示公式
3.1.1用行列式表示三角形面积
以平面内三点为顶点的的面积S是
（3）
的绝对值.
证明将平面三点扩充到三维空间,其坐标分别为
其中为任意常数.由此可得：
则
面积为
=
.
3.1.2用行列式表示直线方程
直线方程通过两点和的直线的方程为
.（4）
证明由两点式,我们得直线的方程为
.
将上式展开并化简,得
此式可进一步变形为
此式为行列式（4）按第三行展开所得结果.原式得证.
3.1.3应用举例
例若直线过平面上两个不同的已知点,,求直线方程.
解设直线的方程为,不全为0,因为点在直线上,则必须满足上述方程,从而有
这是一个以为未知量的齐次线性方程组,且不全为0,说明该齐次线性方程组有非零解.其系数行列式等于0,即
.
则所求直线的方程为
.
同理,若空间上有三个不同的已知点,平面过,则平面的方程为
.
同理,若平面有三个不同的已知点,圆过,则圆的方程为
.
3.2行列式在平面几何中的一些应用
3.2.1三线共点
平面内三条互不平行的直线
相交于一点的充要条件是.
3.2.2三点共线
平面内三点在一直线的充要条件是.
3.2.3应用举例
例平面上给出三条不重合的直线:
若,则这三条直线不能组成三角形.
证明设与的交点为,因为
将第1列乘上,第2列乘上,全加到第3列上去,可得：
.
因为在与上,所以,且
若与平行,若也在上交于一点,无论何种情形,都有不组成三角形.
这说明由,得到三条直线或两两平行或三线交于一点.也就是三条直线不能组成三角形.
3.3行列式在三维空间中的应用
3.3.1平面组
设由个平面方程构成的方程组为
（5）
若方程组（5）中的各代以,并用乘以（5）式两端:
得
（6）
叫做点的齐次坐标.这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵
及
的秩及有关系.现在分别叙述如下：
（Ⅰ）当,则方程组中各系数全是0.
（Ⅱ）当则方程组（5）不合理,方程组（6）有解.当,,,将趋近于无穷大（假设趋近于0）.在这种情况下,我们说这个平面在无穷远重合.
（Ⅲ）当,则在矩阵及中所有二阶行列式全是0.所以我们有
以上等式表示个平面相合成一个平面.
（Ⅳ）当方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式
上式表示平面
平行但不相合.也就是平面组中个平面相合或平行,至少有两个平面不相合.
（Ⅴ）则矩阵及中所有三阶行列式全是0,至少有一个二阶行列式不是0.假设
.
我们必可求得适合下式：
式中,否则行列式
将等于0.所以
.
以上等式表示平面
经过直线
就是个平面全经过一条直线.
（Ⅵ）当并假定
方程组的系数至少有一组适合以下关系：
（是中的一数）
以上第一个等式表示组中第平面
与直线
平行.又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线,所以个平面有平行的交线.例如由方程组
解得
.
因为行列式
.
而其它三个行列式不全是零故,就是三个平面的交点在无穷远.三个平面中每两个平面的交线是平行的.
（Ⅶ）当,并假定
.
在这种情况下,平面
相交于一点.又因
（）
故平面
经过前面三个平面的交点,就是个平面有一个交点,不在无穷远.
（Ⅷ）当,则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零.假设
.（是中的一数）
以上不等式表示平面
不经过前三个平面的交点.
3.3.2点组
设有个点,它们的齐次坐标各是
此点组的相关位置与坐标做成的矩阵
的秩有关系.分别叙述如下:
（Ⅰ）当,则个点的坐标全是（0,0,0,0）不能确定点的位置.
（Ⅱ）当,假定,很容易推得（因为中所有的二阶行列式等于0）
上式表示个点全重合.
（Ⅲ）当,并假设
因中所有三阶行列式全等于0,我们可以求得适合以下方程：
式中不等于0,否则行列式
将等于0.故可求得
假设点及的连线为
把的等值代入上式,易验证点在这连线上,故该点与第一及第二两点共在一直线上.因可以是,所以个点全在一直线上.
（Ⅳ）当,并假定
中所有的四阶行列式全是0,我们可以求得适合下式：
式中不等于0,否则行列式
从以上方程组求得：
设点及所确定的平面是
把的等值代入上式,甚易验明点在这个平面上,故该点与前三个点共在一平面上.又因为可以是,所以个点共在一个平面上.
（Ⅴ）当,中至少有一个四阶行列式如
.
是中任一个数.以上不等式表示点不在前三个点所确定的平面上,因为假设点在平面
上,则以下关系成立.
也就是行列式
这与假设矛盾.
致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对周老师表示衷心的感谢!
参考文献
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高等教育出社,2003.
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高等教育出版社,2003.
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