高三数学一轮复习必备精品2函数概念与表示高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载Word文档格式.docx
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指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:
分式函数的分母不为零,
偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
②限制型:
指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难
点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
③实际型:
解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法(将函数转化为二次函数);
②判别式法(将函数转化为二次方程);
③不等
1
式法(运用不等式的各种性质);
④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。
3.两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。
因此,定义域和对应法则为函数
的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
4.区间
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示
5.映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中
的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为
从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。
(1)这两个集合有先后顺序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.其中
f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。
(2)“都有唯一”什么意思?
包含两层意思:
一是必有一个;
二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思
6.常用的函数表示法
(1)解析法:
就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
(2)列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3)图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7.分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;
8.复合函数
若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域
四.【典例解析】
题型1:
函数概念
2
4x
6,x0
例1.21.(2009
天津卷文)设函数
f(x)
x
f
(1)的解集
则不等式f(x)
x6,x0
是(
)
A.(
3,1)(3,
B.(
3,1)
(2,
C.(
1,1)(3,
D.(
3)
(1,3)
答案A
解析
由已知,函数先增后减再增
当x
,f(x)
f
(1)
3令f(x)
3,
解得x
1,x
3。
,x
6
3,x
3
故f(x)
f
(1)
,解得
3x
1或x3
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解
(2)江苏省如皋中学2007—2008学年度第二学期阶段考试高三数学(理科)
请设计一个同时满足下列两个条件的函数
y=f(x):
①图象关于y
轴对称;
②对定义域内任意不同两点x1、x2,
都有
f(x1)f(x2)
2f(x1
x2)答:
.
答案不唯一,在定义域内图象上凸的偶函数均可,如
x2,f(x)
cosx(
),f(x)|tanx|(
x)等等.
首先由①知f(x)为偶函数,由②知f
(x)在定义域内图象上凸,然后在基本初等函数
中去寻找符合这两点的模型函数
【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质,问题以开放的形式出现,着重突出对考生数学素质的要求.
点评:
讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等),这都是函数学习的常用基本功
1,
变式题:
(2009
北京文)已知函数
2,则x
f(x)
x,
若f(x)
wwk5答案
log3
w解析
5u本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x的值.
属于基础知识、基本运算的考
查.
无解,故应填log32.
由
xlog32,
2x
例2.(2007
安徽文理15)
(1)函数f
x对于任意实数
x满足条件fx2
5,则
,若f1
ff5__________;
解:
(1)由fx2
x4
,
得f
fx
所以f(5)f
(1)
5,则ff5
f(5)
f(
1)
。
2)5
通过对抽象函数的限制条件,变量换元得到函数解析式,考察学生的逻辑思维能
力。
题型二:
判断两个函数是否相同
例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=
x2,g(x)=3
x3;
(2)f(x)=|x|,g(x)=
0,
1x
0;
(3)f(x)=2n1x2n
1,g(x)=(2n1x)2n-1(n∈N*);
(4)f(x)=xx
1,g(x)=x2
x;
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
(1)由于f(x)=
x2=|x|,g(x)=3x3
=x,故它们的值域及对应法则都不相同,
所以它们不是同一函数;
(2)由于函数f(x)=|x|的定义域为(-∞,
0)∪(0,+∞),而g(x)=
0;
的定义域为R,所以它们不是同一函数;
(3)由于当n∈N*时,2n±
1为奇数,
∴f(x)=2n1x2n1=x,g(x)=(2n1x)2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;
(4)由于函数f(x)=xx1的定义域为{x|x≥0},而g(x)=x2x的定义域为{x|x
≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数
对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。
(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,
这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数。
(2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不
可能是同一函数
题型三:
函数定义域问题
4
例4.求下述函数的定义域:
(1)f(x)
2xx
(32x)0;
lg(2x
(2)f(x)
lg(
xka)
lg(x
a
2).
2x
(1)
,解得函数定义域为(
1)
(1,)
(,2].
(2)
ka
,(先对a进行分类讨论,然后对
k进行分类讨论),
①当a=0(k
R)时,函数定义域为(0,
);
②当a
时,得
a或x
1)当
时,函数定义域为
(ka,
),
k
2)当
(a,
3)当
a)
(a,
③当a
0时,得
(
a,
(ka,a)
)。
在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第(
2)小题的解析式中含有参
数,要对参数的取值进行讨论,考察学生分类讨论的能力
例5.已知函数
定义域为(0,2),求下列函数的定义域:
5
f(x
;
(2)y
f(x)23
log1
(2
x)
(1)由0<x2<2,
得
本例不给出f(x)的解析式,即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义,用好换元法;
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题
中产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到
已知函数
f(x)=
3x
的定义域是R,则实数a的取值范围是(
ax2
ax
B.-12<a≤0
C.-12<a<0
D.a≤
A.a>
由a=0或
可得-12<a≤0,答案B。
a2
4a
3)
题型四:
函数值域问题
例5.求下列函数的值域:
(1)y
3x2
2;
(2)y
x2
6x5;
(3)y
(4)y
41
(5)y
1x2;
(6)y|x
1||x
4|;
(8)y
x。
(7)y
(x
(9)y
sin
x2
cosx
(1)(配方法)
y
23
3(x
12
2的值域为[
∴y3x
改题:
求函数
[1,3]
的值域。
(利用函数的单调性)函数
2在x
上单调增,
∴当x1
时,原函数有最小值为
4;
时,原函数有最大值为
26
∴函数y
[1,
3]
的值域为[4,26]。
(2)求复合函数的值域:
设
6x
0),则原函数可化为
又∵
44,
(x3)
∴0
4,故
[0,2],
∴y
5的值域为[0,2]
(3)(法一)反函数法:
1的反函数为y
1,其定义域为{x
R|x
3},
∴原函数y
1的值域为{y
R|y
3}
(法二)分离变量法:
2)
7
∵
,∴3
3}。
(4)换元法(代数换元法):
t
,则x
2,
∴原函数可化为
4t
(t
5(t
0)
,∴y
∴原函数值域为(
5]
注:
总结y
b
cx
d
型值域,
变形:
y
d或y
(5)三角换元法:
∵1
1,∴设x
cos
[0,
],
则y
2sin(
],∴
[
,∴sin(
]
1]
∴
[1,
2],
∴原函数的值域为