届高考数学第一轮复习精讲课前准备+课堂活动小结+课后练习函数模型及其应用导学案新人教A版文.docx

届高考数学第一轮复习精讲课前准备+课堂活动小结+课后练习函数模型及其应用导学案新人教A版文.docx

《届高考数学第一轮复习精讲课前准备+课堂活动小结+课后练习函数模型及其应用导学案新人教A版文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学第一轮复习精讲课前准备+课堂活动小结+课后练习函数模型及其应用导学案新人教A版文.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高考数学第一轮复习精讲课前准备+课堂活动小结+课后练习函数模型及其应用导学案新人教A版文

学案12　函数模型及其应用

导学目标：

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

自主梳理

1．三种增长型函数模型的图象与性质

函数

性质

y＝ax（a>1）

y＝logax

（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）上的单调性

增长速度

图象的变化

随x增大逐渐表现为与____平行

随x增大逐渐表现为与____平行

随n值变化而不同

2.三种增长型函数之间增长速度的比较

（1）指数函数y＝ax（a>1）与幂函数y＝xn（n>0）

在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．

（2）对数函数y＝logax（a>1）与幂函数y＝xn（n>0）

对数函数y＝logax（a>1）的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．

由

（1）

（2）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在（0，＋∞）上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．

3．函数模型的应用实例的基本题型

（1）给定函数模型解决实际问题；

（2）建立确定性的函数模型解决问题；

（3）建立拟合函数模型解决实际问题．

4．函数建模的基本程序

自我检测

1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是（　　）

A．v＝exB．v＝100lnx

C．v＝x100D．v＝100×2x

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（　　）

A．45.606B．45.6

C．45.56D．45.51

3．（2010·陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（　　）

A．y＝[]B．y＝[]

C．y＝[]D．y＝[]

4．（2011·湘潭月考）某工厂6年来生产某种产品的情况是：

前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（　　）

5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？

（精确到1小时）

探究点一　一次函数、二次函数模型

例1　（2011·阳江模拟）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

变式迁移1　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

探究点二　分段函数模型

例2　据气象中心观察和预测：

发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）

的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．

（1）当t＝4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？

如果不会，请说明理由．

变式迁移2　某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

探究点三　指数函数模型

例3　诺贝尔奖发放方式为：

每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：

1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f

（1），2000年记为f

（2），…，依次类推）

（1）用f

（1）表示f

（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；

（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．

（参考数据：

1.03129＝1.32）

变式迁移3　（2011·商丘模拟）现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？

（参考数据：

lg3＝0.477，lg2＝0.301）

1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学结论还原为实际问题的意义．

2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：

（1）利用函数模型的单调性比较数的大小；

（2）比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；

（3）函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　）

X

1.95

3.00

3.94

5.10

6.12

Y

0.97

1.59

1.98

2.35

2.61

A.y＝2xB．y＝log2x

C．y＝（x2－1）D．y＝2.61cosx

2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f（m）＝1.06×（0.5×[m]＋1）（单位：

元），其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数（如[3.72]）＝3，[4]＝4），当m∈[0.5,3.1]时，函数f（m）的值域是

（　　）

A．{1.06,2.12,3.18,4.24}

B．{1.06,1.59,2.12,2.65}

C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}

D．{1.59,2.12,2.65}

3．（2011·秦皇岛模拟）某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是（　　）

A．多赚约6元B．少赚约6元

C．多赚约2元D．盈利相同

4．国家规定个人稿费纳税办法是：

不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（　　）

A．4000元B．3800元

C．4200元D．3600元

5．（2011·沧州月考）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（　　）

A．18万件B．20万件

C．16万件D．8万件

题号

1

2

3

4

5

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.

7．（2010·金华十校3月联考）有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为________（围墙的厚度不计）．

8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：

型号

小包装

大包装

重量

100克

300克

包装费

0.5元

0.7元

销售价格

3.00元

8.4元

则下列说法中正确的是________（填序号）

①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010·湖南师大附中仿真）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：

m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．

（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？

（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

10．（12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：

元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）

11．（14分）（2011·鄂州模拟）某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1