∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
3．|x－a|＋|x－b|≥c（c>0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法
法一：
利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
法二：
利用“零点分区法”求解，体现了分类讨论的思想．
法三：
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
解不等式：
|x－2|＋|x＋3|>7.
解：
因为|x－2|＋|x＋3|
＝
所以原不等式可化为
或或
解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．
不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解：
由不等式的性质得|x＋3|－|x－1|＝|x＋3|－|1－x|≤|（x＋3）＋（1－x）|＝4
所以a2－3a≥4，解得a≥4或a≤－1.
对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解：
由|x－1|≤1与|y－2|≤1，可知不等式构成的区域为四条直线x＝0，x＝2，y＝1，y＝3围成的一个矩形区域，而|x－2y＋1|的最大值即为x－2y＋1的最大值或最小值对应的绝对值，为此可转化为求x－2y＋1的最值．
记u＝x－2y＋1，即y＝x＋（1－u），由数形结合易知，当直线经过不等式值域的区域内的点（2，1）与（0，3）时，y对应有最小值与最大值，此时对应的u值为1与－5，故|x－2y＋1|的最大值为5.
（2018·长沙市统一模拟考试）已知f（x）＝|x－a|＋|x－3|.
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．
解：
（1）当a＝1时，f（x）＝|x－1|＋|x－3|≥|（x－1）－（x－3）|＝2，
故f（x）的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．
（2）f（x）＝|x－a|＋|x－3|≥|（x－a）－（x－3）|＝|3－a|，若不等式f（x）≤3的解集非空，
则|3－a|≤3，
即－3≤3－a≤3，
因此0≤a≤6，
所以a的取值范围是[0，6]．
含绝对值不等式的解法
[典例引领]
设函数f（x）＝|x－a|.
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7－|x－1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，求a的值．
【解】
（1）当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，
所以或
或，
所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[5，＋∞）．
（2）f（x）≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，
而f（x）≤1的解集是[0，2]，
所以，解得a＝1.
[通关练习]
1．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解：
（1）当x<－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）<＋1，解得x<10，所以x<－3.
（2）当－3≤x<时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）<＋1，解得x<－，
所以－3≤x<－.
（3）当x≥时，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）<＋1，解得x>2，所以x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
2．（2016·高考全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|2x－3|.
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．
解：
（1）f（x）＝
y＝f（x）的图象如图所示．
（2）由f（x）的表达式及图象知，当f（x）＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f（x）＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f（x）＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f（x）＜－1的解集为.
所以|f（x）|＞1的解集为{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}．
绝对值不等式性质的应用
[典例引领]
设不等式|x－2|（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
【解】
（1）因为∈A，且∉A，
所以解得又因为a∈N*，所以a＝1.
（2）因为f（x）＝|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3.
当且仅当（x＋1）（x－2）≤0即－1≤x≤2时取到等号，
所以f（x）的最小值为3.
两数和与差的绝对值不等式的性质
（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：
|x＋5y|≤1.
证明：
因为|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|.
所以由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1.
绝对值不等式的综合应用
[典例引领]
（2017·高考全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
【解】
（1）f（x）＝
当x＜－1时，f（x）≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f（x）≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f（x）≥1解得x＞2.
所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）由f（x）≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．
（2018·河南郑州模拟）已知函数f（x）＝|2x＋1|，g（x）＝|x|＋a.
（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
解：
（1）当a＝0时，由f（x）≥g（x）得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－，
所以原不等式的解集为（－∞，－1]∪.
（2）由f（x）≤g（x）得a≥|2x＋1|－|x|，令h（x）＝|2x＋1|－|x|，则h（x）＝
故h（x）min＝h＝－，
所以实数a的取值范围为a≥－.
绝对值不等式的三种常用解法：
零点分段法，数形结合法，构造函数法．
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
（1）求m＋n的值；
（2）若|x－a||x|<|a|＋1.
解：
（1）不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.
（2）证明：
若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.即|x|<|a|＋1.
2．已知函数f（x）＝|x＋1|－|x|＋a.
（1）若a＝0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
解：
（1）当a＝0时，f（x）＝|x＋1|－|x|
＝
所以当x<－1时，f（x）＝－1<0，不合题意；
当－1≤x<0时，f（x）＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；
当x≥0时，f（x）＝1>0，符合题意．
综上可得f（x）≥0的解集为.
（2）设u（x）＝|x＋1|－|x|，y＝u（x）的图象和y＝x的图象如图所示．
易知y＝u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y＝x的图象始终有3个交点，从而－13．（2018·兰州市诊断考试）已知函数f（x）＝的定义域为R.
（1）求m的取值范围；
（2）若m的最大值为n，解关于x的不等式：
|x－3|－2x≤2n－4.
解：
（1）因为函数f（x）的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．
设函数g（x）＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x＋1|＋|x－3|≥|（x＋1）－（x－3）|＝4，即g（x）的最小值为4.
所以m≤4.
（2）当m取最大值4时，原不等式等价于|x－3|－2x≤4，
所以或，
解得x≥3或－≤x<3.
所以原不等式的解集为.
4．（2018·云南省第一次统一检测）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.
（1）当a＝5时，解关于x的不等式f（x）>9；
（2）设关于x的不等式f（x）≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：
（1）当a＝5时，f（x）＝|x＋5|＋|x－2|.
①当x≥2时，由f（x）>9，得2x＋3>9，解得x>3；
②当－5≤x<2时，由f（x）>9，得7>9，此时不等式无解；
③当x<－5时，由f（x）>9，得－2x－3>9，解得x
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