数学华师版八年级上册第12章整式的乘除整合提升密码Word文档下载推荐.docx

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因式分解的七种常见用途

因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．

用于简便计算

1．计算：

20162－4034×

2016＋20172.

2．计算：

·

…·

（1－

）·

）．

用于化简求值

3．已知2x－3＝0，求式子x（x2－x）＋x2（5－x）－9的值．

用于判断整除

4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？

为什么？

用于判断三角形的形状

5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．

用于比较大小

6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．

用于解方程（组）

7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．

用于探究规律

8．观察下列各式：

12＋（1×

2）2＋22＝9＝32，

22＋（2×

3）2＋32＝49＝72，

32＋（3×

4）2＋42＝169＝132，….

你发现了什么规律？

请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明理由．

专训三：

整式的乘除中的几种热门考点

本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．

幂的运算

1．（2015·

临沂）下列计算正确的是（　　）

A．a2＋a2＝2a4

B．（－a2b）3＝－a6b3

C．a2·

a3＝a6

D．a8÷

a2＝a4

（1）（－a2b）2＝________；

（2）42016×

（－0.25）2017＝________．

3．已知：

3x＋5y＝8，求8x·

整式的乘除运算

4．下列计算结果是x2－6x＋5的是（　　）

A．（x－2）（x－3）B．（x－6）（x＋1）

C．（x－1）（x－5）D．（x＋6）（x－1）

5．若（－2x2）（3x2－ax－6）－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．

6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x－2y）错抄成除以（x－2y），结果得到3x，则第一个多项式是什么？

正确的结果应该是什么？

7．先化简，再求值：

2（2x－1）（2x＋1）－5x（－x＋3y）＋4x（－4x－

y），其中x＝－1，y＝2.

乘法公式的运用

8．下列计算正确的是（　　）

A．（－x－y）（x＋y）＝x2－y2

B．（x－y）2＝x2－y2

C．（x＋3y）（x－3y）＝x2－3y2

D．（－x＋y）2＝x2－2xy＋y2

9．运用乘法公式计算：

（1）（m－2n＋3）（m＋2n－3）；

（2）（a－3b＋2）2.

10．（2014·

绍兴）先化简，再求值：

a（a－3b）＋（a＋b）2－a（a－b），其中a＝1，b＝－

.

11．已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：

（1）x2＋y2；

（2）x2－xy＋y2；

　（3）（x－y）2.

利用提公因式法和公式法分解因式

12．将下列各式分解因式：

（1）2a3b2c＋4ab3c－abc；

（2）x2＋4x＋4；

（3）（2a＋b）（2a－b）＋b（4a＋2b）；

（4）x2（x－y）＋（y－x）；

（5）3ax2－6axy＋3ay2.

整式乘除的应用

13．已知（x＋y）2＝5，（x－y）2＝3，求3xy－1的值．

14．已知n是整数，试说明（2n＋1）2－1能被8整除．

（第15题）

15．（2014·

青海）如图，长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则a2b＋ab2的值为________．

16．△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？

并说明理由．

17．一天，小明在纸上写了一个算式：

4x2＋8x＋11，并对小刚说：

“无论x取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！

”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？

数学思想方法的应用

a．转化思想

18．若2x＝3，4y＝5，则2x－2y的值是（　　）

A.

B．－2

C.

D.

b．整体思想

19．若m＋n＝3，则2m2＋4mn＋2n2－6的值为（　　）

A．12B．6C．3D．0

c．换元思想

20．计算：

20153－2014×

2015×

2016.

答案

专训一

1．解：

4x·

32y＝（22）x·

（25）y＝22x·

25y＝22x＋5y.

因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，

所以原式＝23＝8.

点拨：

本题运用了整体思想和转化思想．

2．解：

由a＝

x－16，可得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.从而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝

[（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2]＝

×

[（－2）2＋（－2）2＋42]＝

24＝12.

3．解：

（x2＋1）（y2＋1）＝x2y2＋x2＋y2＋1＝（xy）2＋（x＋y）2－2xy＋1.把x＋y＝4，xy＝1整体代入，

原式＝12＋42－2×

1＋1＝16.

4．解：

由a－b＝b－c＝

，可以得到a－c＝

.由（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝2（a2＋b2＋c2）－2（ab＋bc＋ca），得到ab＋bc＋ca＝（a2＋b2＋c2）－

[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]．将a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值整体代入，可得ab＋bc＋ca＝1－

[（

）2＋

＋

]＝1－

＝－

5．解：

因为a2＋a－1＝0①，

所以将等式两边都乘a，可得a3＋a2－a＝0②.

将①②相加，得a3＋2a2－1＝0，即a3＋2a2＝1.

所以a3＋2a2＋2016＝1＋2016＝2017.

6．解：

（2016－a）2＋（2014－a）2＝[（2016－a）－（2014－a）]2＋2（2016－a）（2014－a）＝22＋2×

2015＝4＋4030＝4034.

本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝（x－y）2＋2xy，结合整体思想求解，使计算简便．

7．解：

设123456788＝a，则123456789＝a＋1，123456786＝a－2，123456787＝a－1.从而M＝（a＋1）（a－2）＝a2－a－2，N＝a（a－1）＝a2－a.所以M－N＝（a2－a－2）－（a2－a）＝－2＜0，所以M＜N.

8．解：

设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝（a1＋M）（M＋an）－M（a1＋M＋an）＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.

本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用．

专训二

2016＋20172

＝20162－2×

2016×

2017＋20172

＝（2016－2017）2

＝1.

原式＝

（1＋

）

（1＋

）（1－

）（1＋

＝

…×

原式＝x3－x2＋5x2－x3－9

＝4x2－9

＝（2x＋3）（2x－3）．

当2x－3＝0时，（2x＋3）（2x－3）＝0.

所得的差一定能被9整除．理由：

设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a≠b，则这个两位数是10a＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a＋b－（10b＋a）|＝9|a－b|，所以所得的差一定能被9整除．

∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，

∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.

即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.

∴（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝0.

又∵（a－b）2≥0，（b－c）2≥0，（a－c）2≥0，

∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，

即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．

B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝（a＋3）（a－3）．

因为a＞2，所以a＋3＞0，

从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；

当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；

当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.

设大正方形和小正方形的边长分别为xcm，ycm，

根据题意，得

由①得x－y＝24，③

由②得（x＋y）（x－y）＝960，④

把③代入④得x＋y＝40.⑤

由③⑤得方程组

解得

答：

大正方形的边长为32cm，小正方形的边长为8cm.

根据目前我们所学的知识，还无法解方程组

但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x，y的二元一次方程组的问题．

规律：

n2＋[n（n＋1）]2＋（n＋1）2＝（n2＋n＋1）2.理由如下：

n2＋[n（n＋1）]2＋（n＋1）2＝[n（n＋1）]2＋2n2＋2n＋1＝[n（n＋1）]2＋2n（n＋1）＋1＝[n（n＋1）＋1]2＝（n2＋n＋1）2.

专训三

1．B

2．

（1）a4b2　

（2）－0.25

8x·

32y＝23x·

25y＝23x＋5y＝28＝256.

4．C　5.

第一个多项式是3x（x－2y）＝3x2－6xy.

正确的结果是（3x2－6xy）（x－2y）＝3x3－12x2y＋12xy2.

原式＝2（4x2－1）＋5x2－15xy－16x2－10xy

＝8x2－2＋5x2－15xy－16x2－10xy

＝－3x2－25xy－2.

当x＝－1，y＝2时，

原式＝－3×

（－1）2－25×

（－1）×

2－2＝45.

8．D

9．解：

（1）原式＝[m－（2n－3）][m＋（2n－3）]

＝m2－（2n－3）2

＝m2－（4n2－12n＋9）

＝m2－4n2＋12n－9.

（2）原式＝[（a－3b）＋2]2

＝（a－3b）2＋4（a－3b）＋4

＝a2－6ab＋9b2＋4a－12b＋4.

10．解：

原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2.

当a＝1，b＝－

时，原式＝12＋

11．解：

（1）x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝（x＋y）2－2xy＝32－2×

（－7）＝23.

（2）x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝（x＋y）2－3xy＝32－3×

（－7）＝30.

（3）（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝（x＋y）2－4xy＝32－4×

（－7）＝37.

12．解：

（1）原式＝abc（2a2b＋4b2－1）．

（2）原式＝（x＋2）2.

（3）原式＝（2a＋b）（2a－b）＋2b（2a＋b）

＝（2a＋b）（2a－b＋2b）

＝（2a＋b）2.

（4）原式＝x2（x－y）－（x－y）＝（x－y）（x2－1）＝（x－y）（x＋1）（x－1）．

（5）原式＝3a（x2－2xy＋y2）＝3a（x－y）2.

13．解：

由（x＋y）2＝5，（x－y）2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.

①－②得4xy＝2，∴xy＝

∴3xy－1＝3×

－1＝

14．解：

（2n＋1）2－1＝[（2n＋1）＋1][（2n＋1）－1]＝2（n＋1）·

2n＝4n·

（n＋1）．

因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·

（n＋1）能被2整除，所以4n·

（n＋1）能被8整除．故（2n＋1）2－1能被8整除．

要说明（2n＋1）2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．

15．75

16．解：

△ABC是等腰三角形．理由如下：

∵a＋2ab＝c＋2bc，

∴（a－c）＋2b（a－c）＝0，

∴（a－c）（1＋2b）＝0.

∵1＋2b＞0，

∴a＝c.

∴△ABC为等腰三角形．

17．解：

∵4x2＋8x＋11＝4（x2＋2x＋1）＋7＝4（x＋1）2＋7，且（x＋1）2≥0，∴4（x＋1）2＋7≥7.

即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．

18．A　19.A

20．解：

设2015＝a，

则原式＝a3－（a－1）·

a·

（a＋1）

＝a3－a（a2－1）

＝a3－a3＋a

＝a

＝2015.