Brouwer不动点定理的几种证明Word文件下载.docx
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论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.
本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.
1.2本课题的研究内容
整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和J.Milnor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.
详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.
第二章Brouwer不动点定理的证明
2.1Brouwer不动点定理的图论证明
2
Brouwer不动点定理：
若二表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f是
到自身的连续映射，则f至少有一个不动点，即存在一点p（r亍，使得f（po）=p。
.
mn
首先把/剖分成若干小三角形区域，即ri2，:
.i2j2的面积为零•
把寸的三个顶点分别标志位0,1,2.每个汀的顶也用｛0,1,2”中的数标志.若汀的顶Pi在厶2上的边上，且厶2的这条边端点之标号为k与m，、*2的顶也标成k与m，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形的三顶分别标志0,1,2时，称『为正常三角形，见图a..子的这种标志的剖分称为三角剖分.
1
v5
引理2.1.1（sperner,1982）
在「的三角剖分中，正常三角形为奇数个•
证：
记T2为『的外部区域，『「22,—2是进行三角剖分得到三角形子区域•以〈、「宀2,…,'
“2[为顶集造一个图G，对于i与j接非零的情形，仅当汀与j2有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对；
.02与『（i=0）的情形，仅当;
2的0-1标志的边落在厶2的0-1标志的边上时，在顶;
-o2与『间连一边，见图b.
由于上述图G中奇次项的个数是偶数，如果d（、p2）是奇数，则
2222222d（,）,d（、.2），…,d（、m）中奇数个奇次项，又d（、i）:
:
：
3,i=1,2,…,m.故…，、辽，…，“中的奇次项是一次项.而仅当『是正常三角形时，dCi2H1，所以正常三角形有奇数个.
下证d（“2）是奇数.事实上，dC，02）是厶2上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1,则，（ii）在「这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f的这条0-1边上的标号序列为0-1交
错列010101-01，这里出现奇数个以0,1为端点的小区间，故dG'
o）为奇数证毕.
定理2.1.2（Brouwer）
f是厶2到自己的连续映射，则存在P0厶2，使f（P0）=P0.
P0,P1,P2是，2的三个顶点，则对任意p2，可以写成
p=a°
p0a1P1a2P2，贝Ua^0，、'
a=1，其中的p,p°
P1,P2是二维向量，且
i=0
p=（a°
a1,a2），f（p）=（a。
a；
‘a?
）.令S^〔©
，印耳）|@0,耳82）：
2©
一a；
i=0,1,2?
.如果能证出S/-，则存在（気印总）20门30，且
'
'
『_'
ai兰a]=0,1,2;
又£
ai^a=1，故必有a°
=a°
a1=a“a：
=a?
，即f有不动点.
2i-0i=0
下证n$=.事实上，考虑/的正常标志的三角形剖分，使得标志i的每个顶点属
iT
于Si,i=0,1,2.：
2上任意一点p=（a0,a1,a2）,f（p）=（a0,a；
a2）时，存在一个S，使
22
pS；
，且ai0;
否则当每个ai0时，aiai.于是ai-ai，矛盾.若一个三
i=0i=0
角形顶点pSi且ai0时，p标志以i，这种标志是正常标志，例如于的顶点
Pi（i=0,1,2）有ai=1，故口•S，标成i;
在.「的popi边上各点的a^0，我们只能把这边上的点标以0或1；
p0p2边上的点同理只能标志0或2；
p1p2上的点只能标志1或2,故正常标志.
由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于So,3,S2.我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在So,S,S2中的三个点，两两相距可以任意小，又f是连续的，故So,S1,S2是闭集.于是，£
「|3「|5八.证毕.
2.2Brouwer不动点定理的初等证明
2.2.1基本概念与引理
定义2.2.1.1设E是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2e.子集AE称为有限闭的，若它与每一有限维平面LE的交按L上的Eucild拓扑是闭的；
一个集族〈A?
称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空•
定义2.2.1.2设E是一线性空间，X是E上的任意子集，称G：
X>
2E是一个KKM映像，
m
如果对任何有限子集「x1,x2,...xm1X，有：
「x1,x2,...xmG（xi）
引理2.2.1.3设集合XRn非空，则距离函数d（x^infx-y是Lipschitz的，即有：
|d（x）—d（y）W|x—y||Px,yeRn
2.2.2利用Banach不动点定理证明KKM定理定理2.2.2.1（Banach不动点定理）
有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点.
定理2.2.2.2（KKM定理）
设E是一线性空间，X是E的子集，G:
X>
2E是一KKM映像.如果对于任何
X，G（x）是有限闭的，则集族「G（x）|x・X具有有限交性质•
反证法.假设存在<
x1,x2,...x^X使得门G（xiH.设L是由
im
<
x1,x2,...x^?
张成的有限维平面，d是上的Eucild的度量.令D=c^x1,x2,...x^，
则DL.由假定每个i=1,2,...m丄p|G（xi）在L中闭，故d（x,^G（xi）^0的充分
必要条件是xfG（xi）.
定义函数：
•（X）八d（x,LG（xi））
i=±
由于G（x）='
，故对于每一D，（x）0.由引理1知:
4（x）—人（y）||兰n|x—y
—x,yD
1m.
不妨设D包含原点，否则用D—丄vxi代替D即可•令:
my
1mii
f（x）d（x,LG（xi））xi
t^（X）y11
_xD
式中，t1是待定参数.则f：
D>
D连续，且对任意x,y.D，有：
f（八f（x）人爲3丄®
））八n（x丄m（xi））TI
1mim
t（y）r（y丄rw：
严丄gw
F面对式（3）右端两项分别进行估计•首先由引理1•对任意x,yD，有:
t‘；
y）Ld（y丄心（加1
1m
t‘（y）i吕
（迟xjx-y|
其次根据式
（2），对任意x,yD，
t；
y）［d（x，g））x
有:
一帀:
严丄nG（xi））xi
岂帀市:
严丄曲））刈23
良r^（〔d（x丄8（5刈Ry
综合式⑶、⑷、⑸知：
IIf（y）—f（x）||兰h；
y）Hx_y
x
亦丁（5时）凶
.在有界闭集DD
上连续，因此有最大值M.取足够大的t_maxfM,1,贝U,f构成D上的一个压缩映射•由Banach不动点定理知道，，有一不动点x・二D.令
I」i|d（x,^G（xi））0,id,2,...m}?
——d（x,^>
|G（xi））x^1xi|LI:
G（xi）
t■（x）i1i1
导致了矛盾.故定理2成立.
2.2.3Brouwer不动点定理的证明
引理2.2.3.1设集族是Rn中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.
证明：
反证法.假设门厶则它的余集为全空间，即门ca=c
即开集CA,.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集CA1,CA2,...,CAm.覆盖住A，即：
ACAsUCAJklJCAm从而：
CAd二A「|A2niH「|Am，即：
这与假设相矛盾，从而引理2成立.
定理2.2.3.2（FKKM定理）
设X是Rn中的非空紧凸集，G:
Rn是闭值的KKM映射，且存在一点X。
使
G（xo）有界，则集族「G（x）XX?
有非空交.
根据定理2知集族「G（x）|x，X具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.
引理2.2.3.3.设X是Rn中的非空紧凸集，映射G:
Rn连续，则至少存
在一点ywX使得：
y_G（y）=inf|x_G（y）
引理2.234.设X是Rn中的非空紧凸集，映射G:
Rn连续.若对于X中每一满足x=G（x）的点x,连结x和G（x）的线段lx,G（x）1至少包含X中2点.则G在X中有不动点.
定理2.2.3.5（Brouwer不动点定理）
设G:
DRn>
Rn是闭集D上的压缩映像，G（D）D，则对任意x°
•D，迭
代序列：
x「1二G（xk）k=0,1,...存在唯一的极限点.
由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer不动点定理2.2.3.5成立.
2.3Brouwer不动点定理的J.Milnor分析证明
2.3.1考虑所有实数n元组的集合En={x={xi,...,xn}lXi（1◎乞n）是实数}，在En±
引进三种线性运算之后,Rn={En,,,:
}就称为n维欧式空间，其中x=（xi，…,Xn）称为Rn的点或向量，诸Xi称为点X的坐标或向量X的分量；
向量X=（Xi,...,Xn）和y=（yi,…，yn）相加，结果是一个向量，定义为
X厂（人y「...,xnyn）
实数〉和向量X相乘，结果是一个向量，定义为
X=（：
人,...，：
Xn）
向量X和y的内积是一个实数，定义为
n
X,y八Xiyi
iV
于是，向量的长度定义为
x「*、*二X2
向量X和y的之间的距离就是
x-y=「（人-y」2
Yi=1
由于对任何〉有
所以判别式
xy,：
xy=x,x：
22x,"
■■.y,y-0
〈x,y『一〈x,xXy,y注0
即是对任何X和yRn有Canchy-By_」不等式
|x,y匸xy
等式成立的充要条件是：
相差一个常数因子•因此我们可以定义的夹角x,y的余
弦为
-=%y）
RM
显然，Icosx,y|_1；
x和y相差正数因子时，cosx；
y|_l；
相差负数因子时,
Icosx,yI=」；
此外由于
=x2y2-2xyCOSx,y
与通常的余弦定律一致，所以COSx,y的定义是合理的.从而，向量x和y正交定义为，x；
y=0.向量x可以用从原点到点x的有向线段来表示，也可以平行移动到任何位置，只依赖于方向和长度•因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则•
图2.3（a）图2.3（b）
2.3.2命I*是Rn中的一个区域.如果对任何向量I*，都相应的地有一个向量y（x）•Rn，就说y是把I*映入Rn的一个映像（变换）.如果y（x）的诸分量yi（Xi,...,Xn）（1_i一n）是（为，…,x.）的连续函数，就说y是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含I*的一个n维开领域中处
处存在且连续.
引理2.3.2.1命I*是有界闭域，v是I*上的连续可微向量场.于是存在
Lipchitz常数c，使得
|v（x）-v（y）||兰c||x—y|,x,I*
证明，由于v是I*上的连续，所以对任何一I*，存在（）0，使得v在方体
1（,、（））={xRn||Xi-i卜：
、（）（1十n）}
处处连续可微，命Cij二sup
巒（©
^3）cXj
于是，根据微分中值定理，对任何X,1（^（））有
v（x）-v（y）—'
|v（X2，…,Xn）-Vi（y2,...,yn）|
i
八｛Vi（Xi,X2…，Xn）—Vi（y2,X2，…,Xn）|
|Vi（yi,X2…，Xn）—Vi"
y2,...,Xn）|
|Vi（yi,y2…，Xn）—Vi（%,X2,…,Xn）|}
兰送qIx—%陀Cj||x—y
i,ji,j
今证存在、：
•0,不依赖于匚三I*，使得对任何x,yI（^（）），上述吧不等式成立•否则，对任何正整数p，存在I*以及xp,yp・1（\,丄），使得
||x（Xp）—V（yp）|辽jxp-yp|
ij
由于I*是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass定理，可设p-；
「I*，从而，
Xp,yp—；
于是，当p充分大时，Xp,y^I（^（）），所以，
v（Xp）-v（yp）||,CjXp-yp
矛盾.这样一来，如果命M=sup|v（x）-v（y）c=max{^；
-乏q}
*x,yM°
i,j
则对任何x,y€I*有||v（x）-v（y）||<
cx-y||
引理2.3.2.2命I*是有界闭域，v是I*上的连续可微向量场.命u:
I*tRn是
一个变换，定义为u（x^xtv（x）,XI于是，当|t|充分小时，u是把I变成
区域u（I*）的变换，区域u（l*）的体积可以表示为t的多项式.
据引理1，设是的Lipschitz常数.
于是，当|t卜:
丄时，变换u是的.
c
因为，若x=y而v（x）=u（y），则由x-y=t（v（y）-v（x））
推出x-y伞|cx-y带仪-y，矛盾.
其次，由于所以的Jacobi行列式是
J（uTj煜］
丿,1=
0,i-
因而可以表为的多项式：
J（u）=1adx）t•|||K（x）tn
其中诸ai（x）t显然是的连续函数.注意，当t=0时，这个行列式之值为1,所以只要|t|充分小，则J（u）恒为正.于是，则反函数定理，当|t|充分小时，u是把区
**
域I变成区域u（l）的连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的•因此，按
照体积的积分定义以及n重积分的换元法则，区域的体积可以表示为
vol（u（l*））dui川llldun
u（l*）
=|||J（u）dXil||dx2
I*
=ao■ait■antn
其中HIai（x）dxj]ldxn*i=0,1,|山n,a=1
c,kn中的n-1维单位球面定义为Sn‘={x・hn||x=1}
命v是SnA上的向量场•如果对任何Sn°
都有：
x,v（xy-0，就说v是SnJ上的向量场.
今设v是sn，上的连续可微的单位切向量场，即是对任何xSnJ有v（x）=1.
考虑区域
▼&
）=収卜（占）,xei*llxll
于是，v被扩充为I*上的连续可微的切向量.
再考虑变换u:
l*—；
knu（x）=xtv（x）,xI*
由于|u（x）|||x『+t2||v（x）『
=1t2x
13
可见变换U把半径为r（-<
^-）的球面sn」（r）={x・Rn|x=r}变到半径为
r.vl2的球面Snd（rt2）上.
引理2.323当t充分小时，变换u把Sn'
（r）变成SnJ（r.r~t?
）
11
设t|c-,t|£
-，其中c是在上的Lipschitz常数.对于任何固定的
3c
UoSn±
（r.Vt2）
命
u*1
w（x）=]2tv（x）,x=l由于tv（x）=t|x，
rJ1+t22
所以
「44-|tv（x）||5（x）兰啟+||tv（x）||<
|
2r（1+t2r』1+t22
此外，
w（x）—w（y）=tv（x）—v（y）兰tc|x-y|
而tc£
1，
可见w是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理,
有唯一的原动点X。
=W（X°
），即—=Xo+tV（Xo），所以1=|幻|丁1+严，因此
rJ1+t2
uo=otv（o），
其中o=r-.「t[xo・Sn‘.这就证明了对任何uo・Sn」（「「？
），存在唯一的
o'
Sn4，使得Uo=u（o）
2.5
2.3.3现在让我们对半径为r的n维球体Bn（r）二{xRn|x_r}的体积给出一个
计算公式
vol（Bn（r））=qrn
vol（Bn（r））=2；
vol[Bn」（.r2-x：
）]dxn
r22n—1
二细〃jcOsJd，
算出上述积分，就得到所要的结果.
2.3.4现在我们问：
球面SnJ上是否存在连续可微的单位切向量？
这个问题的回答有些古怪.如果是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如
n1
v（x）=（X2-XI,X3-X2,|l|,Xn-Xn」）,XS-
但是，如果n-1是偶数，回答则是否定的
定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.
假若不然，当n是奇数时，若sn」上存在连续可微的单位切向量场v，
则据引理3，变换u（x）=x・tv（x）当t充分小时把区域I*={xRn|f计x_号}
变成区域u（l*）={x€RnI^Jl+t2勻凶兰|jl+t2}，
所以u（l*）的体积是vol（u（l*））=vol[Bn（31t2）]-vol[Bn（1.1t2）]
二cd（3）n-心门（-k）n
=c，r_t2）nvol（I*）
由于n是奇数，这个体积不可能是t的多项式，因而和引理2的结果矛盾.定理1还可以稍加推广如下.
定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.
假若不然，命v是Sn4上处处不为零的连续向量场，m二M^vd）.于
x-S
是m・0.据Weierstrass逼近定理⑹，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数
均匀逼近，所以存在一个多项式映像p:
Sn4—Rn，即诸Pi（x）都是（x1^|,xn）的多
项式，
使得p（x）_v（x）：
m,xSnJ,命u（x）二p（x）—p（x）,x；
x,xSnJ
广n\
即Ui（X）=Pi（X）—ZPj（X）XjXi显然，上的联讯可微向量场，此外，：
u（x）,x=；
p（x）,x；
-：
；
p（x）,x.||x2=0,xsn」
所以U是Sn1上的切向量场，最后，u（x）=0蕴涵p（x）汽p（x）,x[x,
J
22
|p（x）||+||v（x）||>
m矛盾，从而u在Sn‘上
处处不为零•因此w（x）二-U（x）一就是snJ上连续可微的单位切向量场•但是，如果
l|u（x）||
n-1是偶数，定理1说，这是不可能的.
例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说
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