最优控制设计.docx
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最优控制设计
最优控制设计
摘要
计算机已经成为现代社会发展的不可取代的有利助手，而计算机控制更是遍及各个领域。
用尽可能少的指令去控制部件，用尽可能短的指令集合去控制部件将大大的简化控制过程，大大的方便控制。
因而对计算机指令控制部件并达到最优的研究具有深远的意义。
针对问题一我们建立了整数线性规划模型。
得到了所有部件得到控制的最少指令的集合为13的结果
针对问题二我们建立了整数线性规划模型。
得到了所有部件得到控制的总长度最小长度为360的结果。
针对问题三由于此题模型0—1线性规划问题，我们采用单纯形法对所建立的模型进行了求解。
针对问题四提出的算法复杂度，我们根据现代计算机软件相关理论，从时间复杂度和空间复杂度两个方面逐一论述了单纯形法在两个方面的复杂度。
具体来说时间复杂度为1575，空间复杂度由于数据量大，导致其空间复杂度相对较复杂。
一·问题重述
在计算机控制过程中，一条计算机指令往往可以控制几个计算机部件，反过来，一个部件一般由几条指令控制。
一个基本的问题是，在指令集合里寻找最少的指令，使得所有的部件得到控制；另一个问题是，当给定每条指令的长度时，在指令集合里，寻求总长度最小的若干指令，使得他们可以控制全部部件。
对于上面两个问题，建立如下两个数学模型：
1·建立使得所有部件得到控制的最少指令集合；
2·建立使得所有部件得到控制的总长度最小的指令集合。
再给出指令控制的部件和指令的长度后如表1所示，用所建立的数学模型对表1所列的数据求出结果。
3·设计模型的求解算法，用表1-1中所列的数据给出求解结果；
4·分析所设计算法的复杂性和计算所得到的结果。
二·问题分析
由于一条计算机指令往往可以控制几个计算机部件，反过来，一个部件一般有几条指令控制，这两都是线性规划问题且约束条件相同，只是两个题的目标函数不同。
针对问题一：
建立使得所有的部件得到控制的指令集合里的最少的指令模型。
我们利用整数线性规划模型，列出所求优化问题目标函数和约束条件，并确保一个部件至少有1条指令控制，同时求出所有部件得到控制的最少指令的集合。
针对问题二：
仍然建立整数规划模型，依然要保证一个部件至少有1条指令控制，再求出所有部件得到控制的总长度的最小长度。
针对问题三：
因为本题中两个问题均是线性规划问题且约束条件相同，只是目标函数略有不同，对此，我们选取单纯形法求解。
单纯形法是线性规划问题的一般解法，其基本思想是寻找一个基的可行解（极点），便可以通过有限步的迭代找到问题的最优解。
针对问题四：
从时间的复杂性和空间的复杂性两个方面进行分析。
三·模型假设
1·一条计算机指令往往可以控制几个计算机部件，反过来，一个部件一般有几条指令控制。
2·计算机部件都完好，不会出现因部件不佳而造成指令的无法控制。
3·不考虑计算机指令之间的相互冲突。
4·不考虑计算机发送指令所用的时间。
四·符号使用及说明
：
第条指令控制第各部件；
：
是否使用第条指令；
：
第条指令的长度；
：
指令的总条数；
：
部件的总个数；
：
所用指令的总条数；
：
所用指令的总长度；
五·模型的建立与求解
问题一的模型：
问题一的目的是为了在指令集合中寻找条数最少的指令，使得所有的部件得到控制，表示是否使用第条指令，，所使用指令的总条数可以表示为，因此目标函数为：
。
约束条件：
我们可以用表示第条指令和第个部件的关系，，易知表示第个部件是否得到指令集合中一条或多条指令控制，当时，表示第个部件得到指令集合中至少一条指令的控制。
目标函数：
约束条件：
解得：
最小指令集合为：
,,,,,,,,,,,;
总共为13条指令。
问题二的模型：
首先我们引入一组变量其中表示第条指令的长度。
问题二的目的是为了在指令集合中寻求总长度最小的若干指令，使得所有的部件得到控制，根据对问题一的分析可知，问题二仍未整数线性规划问题，整数规划模型为：
目标函数：
约束条件：
解得：
表2所有部件得到控制的总长度最小的指令集合
指令Xj
X1
X3
X4
X5
X6
X7
X10
长度
15
30
12
7
19
32
36
所控部件
6,1132
7,24,27,35
1,12,18,28
5,7,27,32
7,10,13,22
4,6,8,20,28,34
10,15,31
指令Xj
X14
X17
X19
X21
X22
X23
X24
长度
53
46
26
26
19
17
22
所控部件
7,34
13,24,29
2,21,24,26
5,8,11
2,12,14,34
6,19,22,31
7,16,26
所以最小长度为：
L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360
问题三的求解
因为本题中两个问题均是线性规划问题且约束条件相同，只是目标函数略有不同，对此，我们选取单纯形法求解。
单纯形法是线性规划问题的一般解法，其基本思想是寻找一个基的可行解（极点），便可以通过有限步的迭代找到问题的最优解。
1.求解问题一用单纯形的二阶段法
第一阶段：
第一步：
将数学模型的线性规划转化为单纯形法的标准形式。
（由于原始问题全部
“”约束条件构成，因此还需添加人工变量和剩余变量）
本问题约束矩阵M=（A,-l,K）,其中A=为阶矩阵，l,K为阶单位矩阵，Z表示人工变量的和。
辅助目标函数：
将辅助目标函数化为求最大值的问题：
目标函数也化为求最大值的问题：
约束条件为:
第二步：
检验各非基变量的检验系数
，
若则基可行解已是最优解，计算结束；否则转为下一步。
第三步：
以辅助目标函数为判断依据进行迭代，选取辅助目标函数中具有非负系数的非基变量（假设是），作为进入下一个基本可行解的进基变量，然后转入下面介绍的第四步。
如果此时，所有的系数均为非负，就得到辅助目标函数的最优解。
假如此时的目标函数值为零，并且所有人工变量均不在基内，这就得到了原始问题的一个基本可行解，然后就转入第二阶段计算；如果此时辅助目标函数值不为零，则人工变量至少还有一个留在基内取非零的正值，那么，原始问题就没有可行解，则停止运算，转至第六步。
第四步：
根据
|>0=,
确定为进基变量，
为出基变量，转入下一步。
第五步：
以为主元素进行迭代（即高斯消去法），把所对应的列向量
（1为第个数）；
目标函数（辅助目标函数）中也应消去，将基变量中转化为
重复第一至第五步，直到终止。
第六步：
若无可行解，则依题意定义
第二阶段：
去掉辅助目标函数所在的行和列，然后以原目标函数代替第一阶段的辅助目标函数作为判断依据，进行单纯形法迭代。
运算步骤同第一阶段中，第一至第五步相类似（注意将第二步中的范围定为），知道得到原线性规划问题的最优解。
求解问题二的算法：
根据模型的相似性，只需将求解问题一中的目标函数改为：
即可，算法与求解问题一中的相同。
问题四的求解
复杂性分析
1．对于时间复杂度，题目要求是使每个部件都受一条或多条指令的控制，所以对于每一个部件都要从1……35遍历每一个的指令，若果遍历过程中发现某一条指令控制此部件，则对加一，表示第i个部件总共接收到的指令条数。
则时间复杂度为45*35=1575，而第二问同第一问时间复杂度为45*35=1575。
2．对于空间复杂度，求解约束方程较少、数据量较小时，运行较为容易，且数据存储所占内存空间较多，运行循环过程过于复杂。
总体来说，空间复杂度所占较大。
六·结果分析
问题一：
据题中要求提出相应的线性规划模型，解得：
最小指令集合为：
,,,,,,,,,,,;
总共为13条指令。
而且从运行结果来看所建立模型是符合实际情况的，问题二中模型跟题一类似；解得最小长度为：
L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360；
问题三：
我们建立的单纯形法对与求解这类模型是可行的，从计算过程来看，迭代次数不高，求解相对而言具有效率。
对于问题四：
复杂性分析
1．对于时间复杂度，题目要求是使每个部件都受一条或多条指令的控制，所以对于每一个部件都要从1……35遍历每一个的指令，若果遍历过程中发现某一条指令控制此部件，则对加一，表示第i个部件总共接收到的指令条数。
则时间复杂度为45*35=1575，而第二问同第一问时间复杂度为45*35=1575。
2．对于空间复杂度，求解约束方程较少、数据量较小时，运行较为容易，且数据存储所占内存空间较多，运行循环过程过于复杂。
总体来说，空间复杂度所占较大。
七·模型的评价与推广
本模型对计算机指令优化控制问题做了细致的分析，提出了模型的算法，并进行了计算求解，最后用数学软解检验了结果的正确性。
本模型也适用于其他类似问题，且规划明确简单，易于操作，可是由于算法的局限，当此类问题有多组最优解时，其模型只能求出其中一组，但所得结果还是令人满意的。
优点：
模型一为整数线性规划模型，本身较为严密，思路清晰，分步骤逐个击破，对题目一条计算机指令往往可以控制几个计算机部件，反过来，一个部件一般有几条指令控制考虑周全，并且可以运用于实践问题，达到数学建模的根本目的，采用MATLAB和LINGO软件解决复杂程序，将问题简单化。
缺点：
当然我们对缺点也不避讳，因为知识面的局限及时间有限我们没有采用大量的文献资料来证明，且模型还有一些漏洞，以后我们会改进。
八·参考文献
【1】薛毅数学建模基础北京：
北京工业大学出版社2004
【2】刘焕彬等数学模型与实验武汉：
科学出版社2008
【3】孙祥等MATLAB7.0基础教程北京：
清华大学出版社2005
【4】王秋萍整数规划问题举例课件
九·附录
表1指令控制的部件和指令的长度
指令
指令所控制的部件
指令的长度
指令
指令所控制的部件
指令的长度
1
4，8，20，31，44
15
19
13,23,26,39
26
2
8，19,22,29,37
80
20
7,12,40,41
22
3
2,16,34,33,32
30
21
12,16,19,28,35
26
4
7,11,35,30
12
22
6,23,27,45
19
5
5,13,18,21
7
23
33,37,40,41
17
6
1,7,9,23,25
19
24
3,17,19,36
22
7
3,5,6,14,24
32
25
16,33,44,45
10
8
7,20,21,32,35
12
26
13,19,24,25
30
9
9,15,20,45
45
27
2,3,5，8
82
10
6,10,39,42,43
36
28
4,7,9,12,43
73
11
1,11,21,34,38
57
29
16,17,20,32
66
12
2,4,18,22,37
78
30
28,33,34,36
55
13
6,17,25,36
65
31
10,23,25,27
24
14
22,33,34,38
53
32
1,5,44,45
46
15
2,10,20,37
34
33
11,15,18,43
37
16
9,24,29,39
48
34
7,14,22,36
77
17
15,18,29,31
46
35
3,15,25,39
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