函数的奇偶性的经典总结Word格式文档下载.docx
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奇（偶）数个奇函数积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；
一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数Fxfgx；
若gx为偶函数，fx为奇（偶）函数，则Fx都为偶函数；
若gx为奇函数，fx为奇函数，则Fx为奇函数；
若gx为奇函数，fx为偶函数，则Fx为偶函数.
题型二三次函数奇偶性的判断
c0时，f（x）是偶函数
已知函数f（x）ax3bx2cxd，证明：
（1）当
（2）当bd0时，f（x）是奇函数
提示：
通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,
f（x）ax
bx
c,当b0，
是偶函数；
当ac0，f（x）是奇函数。
题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值
1函数fx
2ax
bx3ab是偶函数，定义域为a
1，2a，则a
2设f（x）
ax
bx2是定义在1a,2上的偶函数，则
f（x）的值域是
10,2
3已知
sinx
f（x）（x1）（xa）
是奇函数，则a的值为1
4已知
（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,
f（
x）f（x）,f（x）f（x）。
f（x）sinxln（xx2a）是偶函数，则a的值为
因为是填空题，所以还可以用f
（1）f
（1）,f
（1）f
（1）。
还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四利用函数奇偶性的对称
1下列函数中为偶函数的是（B）.下载可编辑.
.ylnx
A.yx2sinxyxB.yx2cosx
2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
3下列函数中,
A.yx1
4函数f（x）
A.y轴对称
xd1
eB.yx—
为偶函数的是（C）
1y-
x的图像关于（C
B.直线y
x对称
5已知函数f（x
1）是R上的奇函数，且f（
1）
6已知函数f（x
2）是R上的偶函数，贝Uf（
3）
2x
坐标原点对称
4，贝Uf（3）=-4
3，则f（7）=-3
x）f（x）,f（
直线
x）
yx对称
f（x）。
⑵奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
⑶在原点有定义的奇函数必有f（0）0。
（t,0）对称。
（4）已知函数f（xt）是R上的奇函数，贝yf（x）关于点
⑸已知f（xt）是偶函数，则f（x）关于直线xt对称。
题型五奇偶函数中的分段问题
1设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2
2xb（b为常数）
，则f
（1）
-3
2已知fX是奇函数，且当x0时，fX
xx2，求x
0时，f
的表达式。
f（x）xx2
3已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x
0时，f（x）
2x3
x2，则f（
3）=-45
4已知fx是偶函数，当x0时，f（x）x2
2x，求f（
4）
24
5设偶函数f（x）满足f（x）2x4（x0），则
0={x|x0或x
4}
（1）已知奇函数f（x），当x0,f（x）g（x），则当x0时，f（x）g（x）。
.下载可编辑.
（2）已知偶函数f（x），当x0,f（x）g（x），则当x0时，f（x）g（x）。
类型六奇函数的特殊和性质
1已知函数f（x）ax32，求f
（2）f
（2）的和为4
2已知f（x）x了bx5ex3dx6，且f（3）12，则f（3）=0
3已知f（x）x5ax3bx8，f
（2）10，f
（2）=_-26__
x2x124
4已知函数f（x）=「——，若f（a）—,则f（a）（—）x133
已知f（x）满足，f（x）g（x）t,其中g（x）是奇函数，则有f（a）f（a）2t。
题型七函数奇偶性的结合性质
1设f（x）、g（x）是R上的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则结论正确的是
A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数
C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数
2设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A.f（x）g（x）是偶函B.f（x）g（x）是奇函数
C.f（x）g（x）|是偶函数D.f（x）g（x）|是奇函数
3设函数f（x）与g（x）的定义域是xR且x1,f（x）是偶函数,g（x）是奇函数,且
11x
f（x）g（x）——,求f（x）和g（x）的解析式，f（x）—2-,g（x）—2-。
x1x1x1
（1）已知f（x）是奇函数，则f（x）是偶函数。
（2）已知h（x）是R上的函数，且f（x）也是R上的偶函数和g（x）也是R上的奇函数，满足
h（x）f（x）g（x），则有g（x）吐晋凶，f（x）叫S。
22
题型八函数的奇偶性与单调性
A1x
A.yB.yeC
2下列函数中，既是偶函数，又在区间（
yx21D.yIgx
1,2）内是增函数的为
（A）ycos2x，xR
（C）y
3
（D）yx1,xR
（B）ylog2x,xR且x丰0
ee
xR
3设f（x）xsinx，贝yf（x）（B）
A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数
4设奇函数f（x）在（0,）上为增函数，且f
（1）0，则不等式f（x）f（x）0的解集为
（（1,0）U（01））
5已知偶函数fx在0,单调递减，f20，若fx10，则x的取值范围是
（1,3）.
112
6已知偶函数f（x）在区间0,）单调增加，则满足f（2x1）vf（Q的x取值范围是（丄，）
333
（1）已知f（x）是奇函数，且在（，0）上是增（减）函数，则在（0,）上也是增（减）
函数。
（2）已知f（x）是偶函数，且在（，0）上是增（减）函数，则在（0,）上也是减（增）函数。
（3）已知f（x）是偶函数，必有f（x）f（x）f（x）。
题型九函数的奇偶性的综合问题
1已知函数fx,当x,yR时，恒f（xy）f（x）f（y），且x0时，fx0,又
1
f1
（1）求证：
fx是奇函数；
（2）求证：
f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在
区间2,6上的最值。
最大值1,最小值-3。
2设f（x）在R上是偶函数，在区间，0上递增，且有f2a2a1f2a22a3，求a
一2
的取值范围。
（2,）
练习题
、判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）
（4）f（x）
一x2
1x
1x，x
（1,1）
（5）f（x）
1,xR（5）f（x）
0,x
[2,2]
（6）f（x）
Inxe
⑺
f（X）
x3
x（8）f（x）sinxtanx（9）f（x）
2x
1，（10）f（x）
x1，
（11）
xe
x2
e，（12）f（x）xsinx（13）f（x）x
，（14）f（x）
xcosx，
（15）
2x|
，（16）f（x）xln（一x21x）,（17）f（x）
ln（1
|x|）2
1x2
二、利用函数的奇偶性求参数的值
1若函数fx（m1）x22mx3是偶函数，求m的值。
o
2若函数f（x）x3（a1）x2bxc4是奇函数，求（ac）25的值。
4
3函数f（x）ax3（b1）x2x是奇函数，定义域为（b1,a），则（ab2）2的值是9
4若f（x）
厂a是奇函数，则a
5若函数f（x）x2xa为偶函数，则实数a_0
6设函数f（x）x（exaex）（xR）是偶函数，则实数a-1
7若函数f（x）
lOga（x
2a）是奇函数，则
卄（x2）（xm）
8若f（x）为奇函数，则实数m__-2
9若函数f（x）xln（xax2）为偶函数，则a_A
10若fxlne3x1ax是偶函数，则a一
2'
三、函数奇偶性定义的应用
的图像Ax
（B）
1函数y=ylog22X
2已知函数f
x1x,xR则（B）
A.fx
fxB.fx为偶函数C.f
fx0D.fx不是偶函数
3若fX
是偶函数，则kfx（k为常数）
（A）
A.是偶函数
B.不是偶函数C.是常数函数
D.
无法确定是不是偶函数
4函数f
x:
=1,x0.则fx为
（B）
1,x0
A.偶函数
B.
奇函数C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
5已知f
为奇函数，贝Ufxx为
A奇函数
偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数
D
L既是奇函数又是偶函数
6已知点
1,3
是偶函数fx图像上一点，贝yf
等（B）
A.-3B.3
C.1D.-1
7若点
在奇函数yfx的图象上，贝Uf
等于（D）
关于y轴对称（D）关于直线yx对称
A.OB.-1C.3D.-3
关于直线yx对称（C）
（A）关于原点对称
-1
8已知yf（x）x2是奇函数，且f
（1）1.若g（x）f（x）2,则g
（1）
9设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）f（x）f（x），在R上一定是（A）
A.奇函数B•偶函数C•既是奇函数又是偶函数D•非奇非偶函数
10设f（x）是R上的奇函数，且yf（x）的图象关于直线X1对称，则
f
（1）f
（2）f（3）f（4）f（5）0
11已知偶函数f（x）的图像关于直线x2对称，f（3）3,则f
（1）___3.
12设函数fx对于任意x,yR都有fxyfxfy，求证：
fx是奇函数。
13已知tR，函数f（x）t,xu,为奇函数，则t-1,g（f
（2））二7
g（x）,x0,
14已知奇函数f（x）的，且方程f（X）0仅有三个根x-i,x2,x3，则x-ix2x3的值0
15设函数fx是R上为奇函数，且f（x2）f（x）f
（2），在f（5）的值-
16已知偶函数f（x）2x4（x0），求f2（x）4f（x）30的个数7
17已知偶函数f（x）x24x6（x0），求f3（x）12f2（x）44f（x）480的个数9
四、函数奇偶性的性质
已知
f（x
3）是偶函数，且f（0）2，则2f（6）3的值为1
x2，则f（3）f（3）的值4
bx4其中a,b为常数，若f
（2）2，则
f
（2）的值等于（-10
则f（3）f（3）的值-4
2，则f（ln3）f（ln）的值-4
6已知
csinx3，贝yf（ln3）
f（ln〕）的值6
7已知函数f
In
TV
x2，则f
lg5
flgi
8已知函数f
.19x2
3x1,则f
Ig2
flg1
9已知函数f（x）
ax3bsinx
4（a,bR），
f（lg（log210））
5，则
f（lg（lg2））
10设函数f（x）
（x1）2sinx
的最大值为M，最小值为m，
m=2
11
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（,0）时，f（x）
2x3x2，则
f
（2）
在R上的奇函数fx和偶函数gx满足f（x）g（x）axa
2（a>
0,且a
0）.若
15
2a，则f2=—
12若函数f（x）,g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）
g（x）ex，
则有（
A-f
（2）f（3）g（0）B.g（0）f（3）f
（2）C.f
（2）g（0）f（3）D.g（0）
f（3）
fe2
13若函数fx为R上的偶函数，且当0x10时，fxInx,则fe
14函数f（X）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有
xf（X1）（1x）f（x），则f（5）的值是0
15函数f（X）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有
xf（x1）（1X）f（X），贝yf（f（5））的值是o
16若函数
X
f（X）2
a在
1,1上
是
奇函
数，
则f（x）的
解析式
为
xbx1
Xf（x）飞
17设f（x）是
R上的奇函数,
且当X
0,
时，
x（1
3X），则当
X（,0）
时
f（x）__x（1
Vx）_
18已知定义在
R上的奇函数
f（X），当X
0时，
f（x
：
）X2
|x|
1，那么X
0时，f（x）
X2X1
19函数f（x）Inx.1
2X
3ex
Xe
1在区间k,k（k0）上的最大值为
M，最小值为
m，则Mm4.
20奇函数f（x）的定义域为
R,
若f（x
2）为偶函数，且f
（1）1，则f（8）
f（9）
（1）
21设定义在R上的奇函数，
满足
f（x2），那么f
（1）f
（2）
f（2017）的值0
22已知函数f（x）是R上的偶函数，当X0,都有f（x2）f（x），且当x[0,2）时，
f（x）log2（x1），则有f（2016）f（2017）的值1
五、函数奇偶性和单调性的应用
1已知函数f（x）（k2）x2（k1）x3是偶函数，则f（x）的递减区间是—0,
2设奇函数f（x）在（0,）上为增函数，且f
（1）0,则不等式f（x）f（x）0的解集为
3已知函数f（x）
3X（3）x，则f（x）
（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数下载可编辑.
4已知奇函数f（x）在R上是增函数•若af（log21）,bf（log24.1）,cf（20.8），则a,b,c
5
的大小关系为
5已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x4）
f（x2）.若当x[3,0]时，f（x）
6x，
则f（919）.
6已知偶函数fx在0,单调递减，f20,若fx10，则x的取值范围是
7已知偶函数f（x）在区间0,）单调增加，则满足f（2x1）vf（）的x取值范围是（丄，）
333
8若偶函数f（x）在，1上是增函数，则下列关系式中成立的是（D）
f
（1）f（3）f
（2）
f
（2）f（弓f
（1）
Af（3）f
（1）f
（2）B.
Cf
（2）f
（1）f（3）D.2
9设偶函数f（x）满足f（x）
x38（x0），则{x|f（x2）0}
{x|x0或x4}
10已知函数fx是定义在
R上的奇函数，
且在区间
上单调递减，若
f3x1
0，则x的取值范围是—（
）_•
11已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足
f（2|a"
）f
（2），则a的取值范围是（f1,-））
22
12已知定义在R上的函数fx2xm1（m为实数）为偶函数，记
af（log0.53）,b
log25,c
f2m
，则a,b,c的大小关系为cab
13f（x）是定义在R上的偶函数，在（
0］上是减函数，且f
（2）0,则使得f（x）0的x的
取值范围是（2,2）
14已知函数f（x）是偶函数，在［0,）上单调递减，则f（1x2）的单调递增区间是.下载可编辑.
（,1][0,1]
15已知函数f（x4）是偶函数，在（4,）上单调递减，则f（log2（x24x5））的单调递减
0的解集为（2,5），则
区间为（1,4）
16已知f（x）,g（x）都是奇函数，如果f（x）0的解集是（4,10）,g（x）
f（x）g（x）0的解集为（5,4）（4,5）
17已知函数f（x）是R上的偶函数，且在[0,）上是增函数，令
25
af（sin）,bf（cos）,c
f（tan），则a,b,c的大小，cab
18已知函数f（x）是R上的奇函数，
若当x（0,）时，f（x）lg（x4），则满足f（x）0的
解集，（5,0）（5,）
19设f（x）是奇函数，且在（0,）内是增函数，又f（3）0,则xf（x）0的解集是
（x|x3或0x3）
20设fX是定义在上R的偶函数，且当
x0时，
fx
2.若对任意的
xa,a2，不
等式fxa
fx恒成立，则实数a的取值范围是
a-.
21函数fx是R上的偶函数，且在[0,
）上单调递增，则下列各式成立的是（
B）
A.f
（2）f（0）f
（1）b
.f
（2）
1）f（0）
c.f
（1）f（0）
f
（2）d
.f
（1）
f
（2）
f（0）
22R上的偶函数
f（x）满足：
对任意的x-i
X2[0,
）（X1
X2），有f（x2）
X2
5）0.则A.
X1
（A）f（3）f（
2）f
（1）（B）f
（1）
（C）f
（2）f
（1）f（3）（D）f（3）
f
（1）f（
2）
23设函数fxIn1xIn1x，则fx是（A）
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D
24已知函数f（x）Inxln（2x），贝y
A.f（x）在（0,2）单调递增
C.y=f（x）的图像关于直线x=1对称
25函数f（x）在（，）单调递减，且为奇函数.
的取值范围是
26函数fXX0是奇函数，且当x0，
•奇函数，且在（0,1）上是减函数
•偶函数，且在（0,1）上是减函数
B.f（x）在（0,2）单调递减
D.y=f（x）的图像关于点（1,0）对称
若f
（1）1，则满足1f（x2）1的x
时是增函数，若f10,求不等
式fx—0的解集
27已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf（x22）f（2xm）只有一个
零点，则函数g（x）mx（x1）的最小值是（5）
x
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