高中数学(函数和导数)综合练习含解析.doc

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高中数学（函数和导数）综合练习含解析

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、选择题（题型注释）

1．已知函数．

（1）当时，求证：

，均有

（2）当时，恒成立，求a的取值范围．

2．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（）

A．B．C．D．

3．函数在内有最小值，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

4．在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可能为（）

A．

B．

C．

D．

5．设是上的单调递减函数；：

函数的值域为．如果“且”为假命题，“或”为真命题，则正实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．如果函数y的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围

是（）

A．∪B．C．D．

7．设函数，若,则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．函数，当时，恒成立，则实数的

取值范围是（）

A．B．C．D．

9．曲线在点处的切线方程为（）

A．B．C．D．

10．设，若，则（）

A．B．C．D．

二、填空题（题型注释）

11．函数在处有极值10，则．

12．设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数．

13．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．

14．设，若，则．

15．已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式

的解集是．

16．已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是.

三、解答题（题型注释）

17．已知函数，其中a∈R

（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围

（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的单调区间与极值．

18．设函数

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）在第二问的基础上，若方程，（）有两个不相等的实数根，求证：

．

19．已知函数，

（1）若的一个极值点为1，求a的值；

（2）设在上的最大值为，当时，恒成立，求a的取值范围．

20．已知c>0，设命题p：

函数为减函数，命题q：

当时，函数恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

21．如果一元二次方程至少有一个负的实数根，试确定这个结论成立的充要条件．

22．已知c>0，设命题p：

函数为减函数，命题q：

当时，函数恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

23．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．

用煤（吨）

用电（千瓦）

产值（万元）

甲产品

7

20

8

乙产品

3

50

12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？

最大日产量为多少？

24．已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：

是否存在常数，使得？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25．已知函数f（x）=，其中a＞0．

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

26．已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．

27．已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；

（3）证明：

.

28．已知函数，（为常数）.

（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；

（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.

29．已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4.

（1）求实数的值；

（2）设，函数.若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.

30．已知函数（为自然对数的底数）.

（1）当时，求过点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若在（0,1）上恒成立，求实数的取值范围.

试卷第5页，总5页

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参考答案

1．

（1）1；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）对进行求导得到其导函数，因为的一个极值点为1，所以，代入即可求出的值；

（2）对进行求导得到其导函数，判断出其在上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值；代入，分离参数，构造一个新函数，只需小于等于其最小值即可．

试题解析：

（1）a＝1时，f（x）＝x2－x－lnx，

在（1，＋∞）上是增函数，

，

所以在（1，＋∞）上是减函数，

当时，，均有

（2）由由x∈[1，＋∞）知，x＋lnx＞0，

所以f（x）≥0恒成立等价于a≤在时恒成立，

令h（x）＝，，有h′（x）＝

单调递增

所以h（x）≥h

（1）＝1，所以a≤1．

考点：

利用导数研究函数的极值和最值

2．D

【解析】

试题分析：

设，是定义在上的奇函数，是定义在的偶函数，当时，，此时函数单调递增．，，，又故选D．

考点：

利用导数研究函数的单调性

【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无解析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调性法，经观察得需要进行构造函数，研究构造的函数的单调性，再利用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的．

3．C

【解析】

试题分析：

由题可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，又在内有最小值，所以只需，即，故选C．

考点：

函数的最小值

4．D

【解析】

试题分析：

对于函数上的点列有，由于是等数列差，所以因此，这是一个与无关的常数，故是等比数列，所以合题意，故选D．

考点：

1、等差数列的定义；2、等比数列的定义；3、指数函数．

【易错点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题．解决该问题应该注意的事项：

（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．本题构造出指数函数巧妙地将等差数列、等比数列结合起来．

5．A

【解析】

试题分析：

本题考查命题真假的判定与推理，若命题为真命题，则若命题为真命题，则且即由条件得：

真假或假真，故正实数的取值范围是故选A．

考点：

1、函数的单调性、值域；2、命题与逻辑联接词．

6．A

【解析】

试题分析：

根据题意画出函数与曲线的图象，如图所示，当与圆相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过作，因为，，所以，此时，当圆半径大于，即时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数的取值范围是，故选A．

考点：

1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合．

7．D

【解析】

试题分析：

由题若即当时，此时即为结合即，可知此时；当时，此时即为结合即，取交集即为，

综上实数的取值范围是

考点：

分段函数，对数函数的性质

【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题．解释由已知条件得到仍为分段函数，讨论和两种情况，化简不等式，解之即可．注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集．

8．D

【解析】

试题分析：

由导函数可知是单调递增奇函数，所以在解不等式时要充分利用这一条件．，又函数为奇函数，所以，即，又因为函数在上为单调递增的函数，所以必有，当时，对任意的不等式恒成立，当时，有，当时，，所以，综上所述，的取值范围是，故正确选项为D．

考点：

利用函数的单调性，奇偶性解不等式．

【思路点睛】本题主要考查利用导函数来判断函数的单调性，以及解有关复合函数的不等式．在解有关函数的不等式时，如果函数是高次的复合函数，则需要先利用导函数判断外函数在定义域上的单调性，将不等式转化为关于内函数的不等式，继续解不等式，从而求出参数的范围，在解不等式，要充分利用题中已知的函数性质．

9．A

【解析】

试题分析：

求曲线某点的切线，需要先求得该点的导数，的导函数为，则曲线在点处的切线斜率为，利用点斜式可求得切线的方程为，故正确选项为A．

考点：

导数的运用．

10．B

【解析】

试题分析：

先求的导函数，可知，，即，可求得，故正确选项为B．

考点：

导数的计算．

11．7

【解析】

试题分析：

对原函数求导可得，

由题得，当时，

，此时不是极值点，不合题意，经检验符合题意，所以

考点：

函数的极值

12．2

【解析】

试题分析：

根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数则为定值，设，则，又，可得，故，，又是方程的一个解，所以是的零点，分析易得，所以函数的零点介于之间，故

考点：

导数运算

【思路点睛】由题意可得为定值，设为，代入即可得到的值，从而可得函数的解析式，代入化简新构造函数，根据零点存在性定理即可得到零点所在范围，从而求出所得答案．此类题目一般都需要进行整体换元来做，进而可以求出函数的解析式，然后根据题意即可得到所求答案．

13．

【解析】

试题分析：

联立方程得到两曲线的交点，因此曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．

考点：

定积分在求面积中的应用

14．

【解析】

试题分析：

考点：

函数的导数

15．

【解析】

试题分析：

仔细观察，会发现条件中的，所以可构造函数，由得在上为增函数，又，所以，则函数在上．在；又，所以在上．在，是定义在R上的奇函数，则在在上．在，而不等式的解集即的解，所以解集为．

考点：

函数的单调性，奇偶性，以及导函数的运用．

【思路点睛】本题的关键在于能够根据构造出一个对解题带来方便的新函数，因为题中只说明是奇函数及一个零点，而解不等式，必须要知道值域在那些区间上为正，那些区间上为负，而通过新构造的函数，结合其单调性及的零点，刚好能解决这一难题．本题同时也考查了学生对公式的逆运用．

16．

【解析】

试题分析：

因为是定义在上的周期为3的函数，当时，.画出函数和在的图像如图所示，

考点：

根的存在性及根的个数判断．

17．

（1）；

（2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值，极小值为

【解析】

试题分析：

（1）对原函数进行求导得到，令，分离参数得到，只需小于等于即可得到所求答案．

（2）由

（1）和题意可知，即可求出的值，代入导函数，令，得到其零点，列表即可判断出函数的单调性和极值．

试题解析：

（1）对求导得

函数在单调递增，在恒成立

，的取值范围

（2）对求导得，由在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线轴，

可知f′

（1）＝－－a＝0，解得a＝

由

（1）知