高中所有数学公式(理科).doc
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高中数学常用公式及结论
一、集合与常用逻辑用语:
1集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个。
2含有一个量词的否定:
‘量词改变,结论否定’
命题
命题的否定
3真值表:
同真‘且’真,同假‘或’假
P
q
P或q
P且q
非p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
4常见结论的否定形式:
原结论
否定词
原结论
否定词
大于
不大于
至少有个
至多有()个
都是
不都是
至多有个
至少有()个
至少有一个
一个也没有
或
且
至多有一个
至少有两个
且
或
5四种命题的相互关系:
(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
充要条件:
(1)、,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2)、,且q≠>p,则P是q的充分不必要条件;
(3)、p≠>p,且,则P是q的必要不充分条件;
(4)、p≠>p,且q≠>p,则P是q的既不充分又不必要条件。
(5)、,A是B的充分条件(小范围大范围)
二、函数:
1二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式;
(2)顶点式;(当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式)
(3)零点式;(当已知抛物线与轴的交点坐标为时)
2函数单调性:
增函数:
f(x)在xD上是减函数。
(y随x的增大而增大)
减函数:
f(x)在xD上是减函数。
(y随x的增大而减小)
等价关系:
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设在某个区间内可导,如果,则增;如果,则减.
单调性性质:
(1)增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;(两个函数定义域交集)
(2)增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数;
(3)与单调性相反,与单调性相反。
(有意义的前提)
复合函数的单调性:
,由和复合,同真异减。
3函数的奇偶性:
(注:
是奇偶函数的前提条件是:
定义域必须关于原点对称)
奇函数:
在前提条件下,若有,则f(x)就是奇函数。
性质:
(1)奇函数的图象关于原点对称;
(2)奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;
(3)定义在R上的奇函数,有f(0)=0.
偶函数:
在前提条件下,若有,则f(x)就是偶函数。
性质:
(1)偶函数的图象关于y轴对称;
(2)偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间;
奇偶函数间的关系:
(1)奇函数·偶函数=奇函数;奇函数·奇函数=偶函数;
(2)偶奇函数·偶函数=偶函数;偶函数±偶函数=偶函数;
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
4函数的周期性:
定义:
对函数f(x),若存在T0,使得f(x+T)=f(x)T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;
(2)f(x+m)=f(x+n),此时周期为2;
(3),此时周期为2m;
(4)两条对称轴:
,此时周期为;(形如)
(5)两个对称点:
,此时周期为;(形如)
(6)一条对称轴:
一个对称点:
,此时周期为;(形如)
5对称性:
对于函数(),
①函数关于y轴对称
②函数关于原点对
③函数的对称轴是
特别地:
函数的对称轴是
④函数关于点(,0)对称
特别地:
函数的对称点
⑤与互为反函数与关于对称
特别地:
与关于对称
6图像变换:
①平移变换:
沿轴方向平移个单位长度左加右减
沿轴方向平移个单位长度上加下减
②对称变换:
与关于轴对称
与关于轴对称
与关于原点对称
与关于成轴对称
与关于成点对称
③伸缩变换:
纵坐标伸缩为原来的A倍
横坐标伸缩为原来的倍
④翻折变换:
:
作出的图像,保留轴上方图像,将轴下方图像沿着轴翻折上去。
:
作出的图像,保留轴右方图像,将其沿着关于轴翻折到左边,右边不变。
(是偶函数)
7分数指数幂与根式的性质:
(1)(,且).
(2)(,且).
(3).
(4)当为奇数时,;当为偶数时,.
8指数式与对数式的互化式:
.
9指数与指数函数:
指数性质:
(1)1、;
(2)、();(3)、
(4)、;(5)、;
指数函数:
(1)、在定义域内是单调递增函数;
(2)、在定义域内是单调递减函数。
注:
指数函数图象都恒过点(0,1)
10对数与对数函数:
对数性质:
若,则
(1)、;
(2)、;
(3)、;(4)、;(5)、
(6)、;(7)、
对数的换底公式:
(,且,,且,).
对数函数:
(1)、在定义域内是单调递增函数;
(2)、在定义域内是单调递减函数;
注:
对数函数图象都恒过点(1,0)
(3)、
(4)、或
11幂函数:
幂函数在第一象限的情况:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点,a大于0,函数过(0,0);
α>1
0<α<1
α<0
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
12平均增长率的问题(负增长时):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
三、导数:
1在处的导数(或变化率):
.
瞬时速度:
.
瞬时加速度:
.
2函数在点处的导数的几何意义:
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
3几种常见函数的导数:
(1)(C为常数).
(2).(3).
(4). (5);.
(6);.
4导数的运算法则:
(1).
(2).(3).
5复合函数的导数:
,由和复合,。
6导数在函数中的应用:
(1)在区间的单调性与导数:
在内恒有递增
在内恒有递减
在内恒有是常数函数
在递增
在递减
(2)判别是极大(小)值的方法:
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
7定积分的性质:
(1)
(2)
(3)
(4)如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则
8微积分基本定理:
如果f(x)是[a,b]上的连续函数,并且有F′(x)=f(x),那么
9定积分的几何意义:
由连续曲线()和及围成的平面图形称为曲边梯形.
1)若如图5-8所示,则面积为
2)把由直线y=c,y=d(cx
y
O
x=g1(y)
x=g2(y)
d
c
所围成的平面图形称为Y-型图形.
阴影部分的面积:
y
y=f2(x)
y
x
y
O
y=f2(x)
b
a
y=f1(x)
3)
b
y=f2(x)
a
O
x
y=f1(x)
a
O
x
b
y=f1(x)
阴影部分的面积:
10定积分在物理上的应用。
(1)变速时间在段,路程
(2)变力物体沿力的方向从移动到,做功
四、三角函数:
1三角不等式:
(1)若,则.
(2)若,则.
(3).
2同角三角函数的基本关系式:
,=,
3正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
4和角与差角公式
;;
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定,).
5二倍角公式及降幂公式
.
.
.
6三角函数的周期公式
函数及函数(A,ω,为常数,且A≠0)的周期;
函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期.
三角函数的图像:
7正弦定理 :
(R为外接圆的半径).
()
8余弦定理:
;
;
.
9面积定理:
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
10三角形内角和定理:
在△ABC中,有
.
五、平面向量:
1实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么:
(1)结合律:
λ(μ)=(λμ);
(2)第一分配律:
(λ+μ)=λ+μ;
(3)第二分配律:
λ(+)=λ+λ.
2与的数量积(或内积):
·=||||。
3平面向量的坐标运算:
(1)设=,=,则+=.
(2)设=,=,则-=.
(3)设A,B,则.
(4)设=,则=.
(5)设=,=,则·=.
4求夹角:
(=,=).
求长度:
5平面两点间的距离公式:
=(A,B).
6共线向量定理:
空间任意两个向量、(≠),//存在实数λ,使=λ。
(1)三点共线:
A、B、C三点共线<=><=>(其中)
(2)与共线的单位向量为
7共面向量
(1)定义:
一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:
空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:
如果两个向量不共线,与向量共面的条件是存在实数使。
(3)四点共面:
若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
8向量的平行与垂直:
设=,=,且,则:
||=λ.(交叉相乘差为零)
()·=0.(对应相乘和为零)
9线段的定比分公式:
设,,是线段的分点,是实数,且,则().
10三角形的重心坐标公式:
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
11三角形四“心”向量形式的充要条件:
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心(外接圆的圆心,中垂线的交点).
(2)为的重心(中线的交点,三等分点(中位线比)).
(3)为的垂心(高的交点).
(4)为的内心(内切圆的圆心,角平分线的交点).
六、数列:
1等差数列:
(1)通项公式:
(1),其中为首项,d为公差,n为项数
(2)和之间的关系:
(注:
该公式对任意数列都适用)
(2)前n项和:
(1);其中为首项,n为项数,为末项。
(2)(注:
该公式对任意数列都适用)
(3)常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有;
注:
若的等差中项,则有2n、m、p成等差。
(2)、若、为等差数列,则为等差数列。