高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案).doc
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函数的单调性和奇偶性
例1
(1)画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间.
解:
函数图像如下图所示,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:
在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数.
评析 函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上.
(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.
解:
f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x=1-a.因为在区间(-∞,1-a]上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-∞,4]上单调递减,对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a≥4,a≤-3.
评析 这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合.
例2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=-
(2)f(x)=(x-1).
解:
(1)f(x)的定义域为R.因为
f(-x)=|-x+1|-|-x-1|
=|x-1|-|x+1|=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下:
(1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称.
(2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)±f(x)=0是否成立,从而判断函数的奇偶性.
例3 已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?
在区间(0,+∞)上呢?
证明你的结论.
解:
因为f(x)的定义域为R,又
f(-x)===f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
其证明:
取x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=-==.
因为x1<x2<0,所以
x2-x1>0,x1+x2<0,
x21+1>0,x22+1>0,
得 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在(-∞,0)上为增函数.
评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.
例4 已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?
证明你的结论.
分析 根据函数的增减性的定义,可以任取x1<x2<0,进而判定F(x1)-F(x2)=-=的正负.为此,需分别判定f(x1)、f(x2)与f(x2)的正负,而这可以从已条件中推出.
解:
任取x1、x2∈(-∞,0)且x1<x2,则有-x1>-x2>0.
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,
∴f(-x2)<f(-x1)<0. ①
又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1) ②
由①、②得 f(x2)>f(x1)>0.于是
F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),
所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数.
评析 本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始就在(0,+∞)内任取x1<x2,展开证明.这样就不能保证-x1,-x2,在(-∞,0)内的任意性而导致错误.
避免错误的方法是:
要明确证明的目标,有针对性地展开证明活动.
例5 讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.
分析 根据函数的单调性定义求解.
解:
设-1<x1<x2<1,则
f(x1)-f(x2)=-
=
∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
∴x1-x2<0,1+x1x2>0,
(1-x21)(1-x22)>0
于是,当a>0时,f(x1)<f(x2);当a<0时,f(x1)>f(x2).
故当a>0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a<0时,函数在(-1,1)上为减函数.
评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是:
(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值,且x1<x2;
(2)作差f(x1)-f(x2),并将此差式变形;
(3)判断f(x1)-f(x2)的正负,从而确定函数的单调性.
例6 求证:
f(x)=x+(k>0)在区间(0,k]上单调递减.
解:
设0<x1<x2≤k,则
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=
∵0<x1<x2≤k,
∴x1-x2<0,0<x1x2<k2,
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)=x+中(0,k]上是减函数.
评析 函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质.因此,若要证明f(x)在[a,b]上是增函数(减函数),就必须证明对于区间[a,b]上任意两点x1,x2,当x1<x2时,都有不等式f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))
类似可以证明:
函数f(x)=x+(k>0)在区间[k,+∞]上是增函数.
例7 判断函数f(x)=的奇偶性.
分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.
解:
由得函数的定义域为[-1,1].这时,|x-2|=2-x.
∴f(x)=,
∴f(-x)===f(x).
且注意到f(x)不恒为零,从而可知,f(x)=是偶函数,不是奇函数.
评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性,若不作深入思考,便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后,函数的奇偶性就非常明显了.这样看来,解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题过程.
函数奇偶性练习
一、选择题
1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则( )
A.,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=3,b=0
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是( )
A.y=x(x-2) B.y=x(|x|-1) C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)
4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f
(2)等于( )
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
5.函数是( )
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
6.若,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5,
则f(x)在(-∞,0)上有( )
A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3
二、填空题
7.函数的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .
8.若y=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=_________.
9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若,则f(x)的解析式为_______.
10.已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为________.
三、解答题
11.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
12.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(xR,yR),且f(0)≠0,
试证f(x)是偶函数.
13.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2—1,求f(x)在R上的表达式.
14.f(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
15.设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
求证f(x)是偶函数.
函数的奇偶性练习参考答案
1. 解析:
f(x)=ax2+bx+c为偶函数,为奇函数,
∴g(x)=ax3+bx2+cx=f(x)·满足奇函数的条件. 答案:
A
2.解析:
由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0.
又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴.故选A.
3.解析:
由x≥0时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2).
∴即f(x)=x(|x|-2)
答案:
D
4.解析:
f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数,
f(-2)+8=18,∴f
(2)+8=-18,∴f
(2)=-26. 答案:
A
5.解析:
此题直接证明较烦,可用等价形式f(-x)+f(x)=0. 答案:
B
6.解析:
、g(x)为奇函数,∴为奇函数.
又f(x)在(0,+∞)上有最大值5, ∴f(x)-2有最大值3.
∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1. 答案:
C
7.答案:
奇函数
8.答案:
0解析:
因为函数y=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,
∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理,得m=0.
9.解析:
由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
可得,联立,∴.
答案:
10.答案:
011.答案:
12.证明:
令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),又f(0)≠0,∴可证f(0)=1.令x=0,
∴f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数.
13.解析:
本题主要是培养学生理解概念的能力.
f(x)=x3+2x2-1.因f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,
∴f(x)=x3-2x2+1.
因此,
点评:
本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.
14.解析:
任取x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5.
因f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以f(-x1)<f(-x2)f(x1)<-f(x2)f(x1)>f(x2),即单调减函数.
点评:
此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化.
15.解析:
由x1,x2R且不为0的任意性,令x1=x2=1代入可证,
f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0.
又令x