高中学业水平考试数学试卷(1).doc
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高中数学学业水平考试试卷
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.已知集合M={0,1},集合N满足M∪N={0,1},则集合N共有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是( )
A.(2,﹣2) B.(﹣2,2) C.(﹣2,1) D.(3,﹣4)
3.不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域(用阴影表示)是( )
A. B. C. D.
4.已知cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
5.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.在△ABC中,a=b,A=120°,则B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.一支田径队有男运动员49人,女运动员35人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本,则应从男运动员中抽出的人数为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
8.已知tanα=2,则tan(α﹣)=( )
A. B. C. D.﹣3
9.圆x2+y2=1与圆(x+1)2+(y+4)2=16的位置关系是( )
A.相外切 B.相内切 C.相交 D.相离
10.如图,圆O内有一个内接三角形ABC,且直径AB=2,∠ABC=45°,在圆O内随机撒一粒黄豆,则它落在三角形ABC内(阴影部分)的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)
11.不等式x2﹣5x≤0的解集是 .
12.把二进制数10011
(2)转化为十进制的数为 .
13.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的图象如图所示,则A,ω的值分别是 .
14.已知函数f(x)=4﹣log2x,x∈[2,8],则f(x)的值域是 .
15.点P是直线x+y﹣2=0上的动点,点Q是圆x2+y2=1上的动点,则线段PQ长的最小值为 .
三、解答题(共5小题,满分40分)
16.如图,甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图:
(1)某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了,看不清了,在如图所示的茎叶图中用m表示,若甲运动员成绩的中位数是33,求m的值;
(2)估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20,40]内的概率.
17.已知向量=(sinx,1),=(2cosx,3),x∈R.
(1)当=λ时,求实数λ和tanx的值;
(2)设函数f(x)=•,求f(x)的最小正周期和单调递减区间.
18.如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△PAB是等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O、D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:
PA∥平面COD;
(2)求三棱锥P﹣ABC的体积.
19.已知函数f(x)=2+的图象经过点(2,3),a为常数.
(1)求a的值和函数f(x)的定义域;
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a,+∞)上是减函数.
20.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an2+an=2Sn,n∈N*.
(1)求a1及an;
(2)求满足Sn>210时n的最小值;
(3)令bn=4,证明:
对一切正整数n,都有+++…+<.
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.已知集合M={0,1},集合N满足M∪N={0,1},则集合N共有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】19:
集合的相等.
【分析】根据集合的包含关系求出集合N的个数即可.
【解答】解:
M={0,1},集合N满足M∪N={0,1},
则N⊆M,
故N=∅,{0},{1},{0,1}共4种可能,
故选:
D.
2.直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是( )
A.(2,﹣2) B.(﹣2,2) C.(﹣2,1) D.(3,﹣4)
【考点】IM:
两条直线的交点坐标.
【分析】根据题意,联立两直线的方程,解可得x、y的值,即可得交点坐标,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,联立,
解可得,
即直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是(2,﹣2);
故选:
A.
3.不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域(用阴影表示)是( )
A. B. C. D.
【考点】7B:
二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】作出不等式对应直线的图象,然后取特殊点代入不等式,判断不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面区域.
【解答】解:
画出不等式2x+y﹣3≤0对应的函数2x+y﹣3=0的图象,
取点(0,0),把该点的坐标代入不等式2x+y﹣3≤0成立,说明不等式2x+y﹣3≤0示的平面区域与点(0,0)同侧,
所以不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域在直线2x+y﹣3=0的右下方,并含直线.
故选B.
4.已知cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考点】GH:
同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,求得sinα的值.
【解答】解:
∵cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=﹣=﹣,
故选:
C.
5.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】49:
指数函数的图象与性质.
【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增,要么递减,即看求解.
【解答】解:
根据指数函数的性质:
当x=1时,f(x)取得最大值,那么x=2取得最小值,
或者x=1时,f(x)取得最小值,那么x=2取得最大值.
∴a+a2=6.
∵a>0,a≠1,
∴a=2.
故选:
A.
6.在△ABC中,a=b,A=120°,则B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【考点】HP:
正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理,特殊角的三角函数值可求sinB=,结合B的范围即可得解B的值.
【解答】解:
∵a=b,A=120°,
∴由正弦定理,可得:
sinB=,
又∵B∈(0°,60°),
∴B=30°.
故选:
A.
7.一支田径队有男运动员49人,女运动员35人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本,则应从男运动员中抽出的人数为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
【考点】B3:
分层抽样方法.
【分析】先求出每个个体被抽到的概率,再用男运动员的人数乘以此概率,即得所求.
【解答】解:
每个个体被抽到的概率等于=,则应从男运动员中抽出的人数为49×=14,
故选:
C
8.已知tanα=2,则tan(α﹣)=( )
A. B. C. D.﹣3
【考点】GR:
两角和与差的正切函数.
【分析】由题意直接利用两角差的正切公式,求得要求式子的值.
【解答】解:
∵tanα=2,则tan(α﹣)==,
故选:
B.
9.圆x2+y2=1与圆(x+1)2+(y+4)2=16的位置关系是( )
A.相外切 B.相内切 C.相交 D.相离
【考点】JA:
圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出两个圆的圆心与半径,通过圆心距与半径的关系判断选项即可.
【解答】解:
圆x2+y2=1的圆心(0,0)半径为1;圆(x+1)2+(y+4)2=16的圆心(﹣1,﹣4),半径为4,
圆心距为:
=,半径和为5,半径差为:
3,(3,5).
所以两个圆的位置关系是相交.
故选:
C.
10.如图,圆O内有一个内接三角形ABC,且直径AB=2,∠ABC=45°,在圆O内随机撒一粒黄豆,则它落在三角形ABC内(阴影部分)的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】CF:
几何概型.
【分析】根据题意,计算圆O的面积S圆和△ABC的面积S△ABC,求它们的面积比即可.
【解答】解:
圆O的直径AB=2,半径为1,
所以圆的面积为S圆=π•12=π;
△ABC的面积为S△ABC=•2•1=1,
在圆O内随机撒一粒黄豆,它落在△ABC内(阴影部分)的概率是
P==.
故选:
D.
二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)
11.不等式x2﹣5x≤0的解集是 {x|0≤x≤5} .
【考点】74:
一元二次不等式的解法.
【分析】把不等式x2﹣5x≤0化为x(x﹣5)≤0,求出解集即可.
【解答】解:
不等式x2﹣5x≤0可化为
x(x﹣5)≤0,
解得0≤x≤5,
∴不等式的解集是{x|0≤x≤5}.
故答案为:
{x|0≤x≤5}.
12.把二进制数10011
(2)转化为十进制的数为 19 .
【考点】WC:
mod的完全同余系和简化剩余系.
【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换,只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换,即可得到答案.
【解答】解:
10011
(2)=1+1×2+1×24=19
故答案为:
19
13.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的图象如图所示,则A,ω的值分别是 3,2 .
【考点】HK:
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据图象信息即可求出A,ω的值.
【解答】解:
根据图象,可知最高点为3,最低点﹣3,
∴A=3.
从图可以看出周期T=π,即=π,
∴ω=2.
故答案为:
3,2.
14.已知函数f(x)=4﹣log2x,x∈[2,8],则f(x)的值域是 [1,3] .
【考点】34:
函数的值域.
【分析】由x∈[2,8]上结合对数函数的单调性,即可求出函数的值域.
【解答】解:
∵函数f(x)=4﹣log2x在x∈[2,8]时单调递减,
∴当x=2时函数取最大值4﹣log22=3,
当x=8时函数取最小值4﹣log28=1,
∴函数f(x)的值域为[1,3],
故答案为:
[1,3].
15.点P是直线x+y﹣2=0上的动点,点Q是圆x2+y2=1上的动点,则线段PQ长的最小值为 .
【考点】J9:
直线与圆的位置关系.
【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值.
【解答】解:
圆心(0,0)到直线x+y﹣2=0的距离d==.再由d﹣r=﹣1,
知最小距离为1.
故答案为:
.
三、解答题(共5小题,满分40分)
16.如图,甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图:
(1)某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了,看不清了,在如图所示的茎叶图中用m表示,若甲运动员成绩的中位数是33,求m的值;
(2)估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20,40]内的概率.
【考点】CC:
列举法计算基本事件数及事件发生的概率;BA:
茎叶图.
【分析】
(1)由茎叶图性质利用中位数定义列出方程,求出m.
(2)由篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20,40]内,能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20,40]内的概率.
【解答】解:
(1)由茎叶图性质得:
中位数为:
=33,
解得m=4.
(2)∵篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20,40]内,
∴可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20,40]内的概率为.
17.已知向量=(sinx,1),=(2cosx,3),x∈R.
(1)当=λ时,求实数λ和tanx的值;
(2)设函数f(x)=•,求f(x)的最小正周期