高三数学《函数单调性在不等式中的运用》教案.doc

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函数单调性在不等式中的运用

函数单调性是函数的重要性质之一，其有着广泛应的应用．巧妙利用函数的单调性可解抽象函数不等式、证明函数型不等式、求解不等式中参数的取值范围等。

一、解抽象不等式

抽象函数不等式常利用函数的单调必性，化归为函数自变量的大小，脱去函数中的“f”，再利用函数单调性的性质从而化为不等式求解。

基本方法：

若函数在区间D上单调递增，且x1，x2∈D，则由f（x1）

＜；

若函数在区间D上单调递减，且x1，x2∈D，则由f（x1）

x1＞x2，

利用此性质，即可确定自变量之间的关系。

例1.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是

（A）（，）（B）［，）（C）（，）（D）［，）

【解析】由于f（x）是偶函数,故f（x）＝f（|x|）

∴得f（|2x－1|）＜f（）,再根据f（x）的单调性

得|2x－1|＜解得＜x＜

例2.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（D）

A． B．

C． D．

【解析】由是奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.

二.证明函数不等式

利用函数单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是高考的热点。

其主要思想是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。

直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。

再通过研究该函数的单调性或求出该函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等，从而证得不等式.常用的证明方法有：

函数单调性法与函数最值法。

方法一：

函数单调性法（端点函数法）

函数单调性法（端点函数法）证明不等式的精髓是：

先作差构造一辅助函数，对辅助函数求导，判断辅函数在指定区间上的单调性（注：

不必求函数的最值），从而达到证明的目的。

定理1：

设R（x）=g（x）-f（x）在区间（a,b）内可导，且满足下列条件：

1）R/（x）＞0，R（a）=0时，则有f（x）＞g（x）

2）R/（x）＜0，R（a）=0时，则有f（x）

定理2：

设R（x）=g（x）-f（x）在区间（a,b）内可导，且满足下列条件：

1）R/（x）＞0，R（b）=0时，则有f（x）

2）R/（x）＜0，R（b）=0时，则有f（x）＞g（x）

定理理解与解释：

一般地,

①欲证f（x）＞g（x）在区间（a,b）内成立时,可先作差构造出函数R（x）=f（x）-g（x），补充定义R（0）=0，然后对R（x）求导，判断R（x）在区间（a,b）内的单调性。

证R（x）在[a,b）上为增函数，且R（a）≥0；

或证R（x）在（a,b]上为减函数，且R（b）≤0.

②欲证f（x）

证R（x）=g（x）-f（x）在[a,b）上为增函数且h（a）≥0,

或证R（x）=g（x）-f（x）在（a,b]上为减函数且h（b）≥0.

定理3、设，在[]上阶可导，

（1）

（2）（或）

则在（）内有（或

基本方法：

用单调性法证明不等式，其步骤一般是：

构造可导函数——研究单调性——得出不等关系——整理得出结论。

（1）构造辅助函数；

①利用不等式两边之差构造辅助函数；或变形（代换、比商等）后再作差构造函数

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；

③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.

（2）研究的单调性，从而证明不等式.

适用范围

利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性.

解题体会：

利用函数的单调性证明不等式时，都是先构造函数.然后通过对函数求导,判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的.即：

一般地，证明或可以构造函数

①如果，则在上是增函数，同时若由增函数的定义可知，时，有即证明了。

②如果，则在上是减函数，同时若由减函数的定义可知，时，有即证明了。

证明过程中常常需要构造函数模型，有时还需要对导函数同时加以放缩方可达到目的。

下面是构造函数模型的一些基本方法。

1、用不等式两边之差直接构造函数模型

（1）（）.构造的函数为：

（2）（）.构造的函数为：

（3）ex＞x＋1＞x（）构造的函数为：

f（x）=ex－xg（x）=ex－x－1

例1.设，证明

证：

令：

补充定义f（0）=0.

当时，,f（x）在上是增函数

∴即x－lnx>0，

∴

令：

，补充定义f（0）=0.

当：

是增函数

例2：

设，证明不等式。

证明：

令补充定义f（0）=0.

补充定义g（0）＝0，则

故由

（1）、

（2）可知，

2、将不等式变形（代换、比商等）后再作差构造函数

例1、证明:

当时,有

分析：

把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数,

并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可.

证明令

于是有

因为故

所以

因而在内恒有,所以在区间内严格递减.

又因为,可知

即

所以

例2.　若

　证明：

令

例3、设函数其中证明对任意的正整数，

不等式都成立．

证明：

当时，函数，

令函数，

则．

当时，，所以函数在上单调递增，又．

时，恒有，即恒成立．

故当时，有．

对任意正整数取，则有．所以结论成立．

例4.已知是正整数，且

证明：

分析：

要证成立，只要证

即要证成立。

因为m

只要证f（x）在是减函数。

证明：

设函数，则

即：

因为：

所以：

，所以在是减函数，而

所以，即；

从而：

。

3、根据不等式两边相同“形式”的结构特征，构造“形似”函数模型

例1.已知n>0,证明:

.

证明:

令,则.

当时,,

所以函数在上单调递减.

∴当时,,即.

分别取.

得.

即.

也即.

即.

例2.已知n>0,证明:

.

证明:

令,则.

当时,,

所以函数在上单调递增.

∴当时,,即.

分别取.

得.

即.

也即.

即.

方法二：

函数极值、最值法

如果所要证明的函数型不等式在指定区间上存在极值、最值，可以构造一辅助函数.利用函数的单调性,求出此函数在指定区间上的极值、最值，将不等式的证明问题转化为用导数求函数的极值或最大（小）值问题。

从而使不等式得于证明.

如要证f（x）>g（x）,只需证明函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值大于O；

如要证f（x）≥g（x），只需证明函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值等于0；

如要证f（x）

如要证f（x）≤g（x），只需证明函数F（x）=f（x）-g（x）的最大值等于0；

（即证大时求小值,证小时求大值；大大于最小值，小小于最大值）

证明方法

用函数最值法证明不等式，其步骤一般是：

构造可导函数——研究单调性和极值——得出不等关系——整理得出结论。

（1）构造辅助函数.

①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；

②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；

③当不等式形如（或）（为常数）时，可设为辅助函数.

（2）求出在函数的极值与最大、最小值.

例1.证明ex>x

例2.当x>－1时，证明不等式

证明：

设，，

当时，，函数f（x）在减函数；

当时，，函数f（x）在上是增函数。

所以，当x=0时，函数f（x）取到最小值，

∴当x>－1时，f（x）f（0）=0，

即:

当x>－1时,不等式恒成立.

三.求解不等式中参数的取值范围

形如f（x）＞0；f（x）＜0；f（x）＞g（x）；f（x）

分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法。

解题技巧：

一般地,：

⑴对于求形如f（x）＞0或f（x）＜0不等式中的参数取值范围，可用分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法求解。

即：

f（x）＞0；f（x）＜0

⑵对于求形如f（x）＞g（x）或f（x）

⑶对导数作适当的放大或缩小处理时，应作正反丙面的讨论，即；放大时，还要应考虑缩小；缩小时，还应考虑放大，二者选用的不等式不同但所得不等式中参数的范要相同。

（大换大，小换小）

1.分离参数（参数可分离,函数极值可确定）----常用方法

若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

即:

（1）恒成立；

（2）恒成立；

（3）有解；

（4）有解。

（5）f（x）＞0

（6）f（x）＜0

例1.设函数，其中常数a>1.若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

w.w.w.k.

解：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数。

由上述知:

当时，在或处取得最小值。

由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

即解得1

故的取值范围是（1，6）

解题体会:

应用此法解题的目标是:

将不等式中的参数分离出来,转化为求函数的最值;或直接讨论所给函数的单调性,求出函数的最值,再利用f（x）＞0,函数的或f（x）＜0,函数的的原理加以求解.

2.单调性分类讨论法------适用方法

当参数难以分离而不等式是有关某个变量的函数时，可以通过构建函数来解决。

即：

通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的单调性加以讨论.排出使不等式不能恒成立的单调区间从而确定参数范围。

解题体会:

应用此法解答此类题目时,常常需要挖掘题中所蕴含条件或利用一些相关的不等式,将其导数适当的放大或缩小后作正反两方面的讨论.下面是一些常用到的不等式:

（1）（）.

（2）（）.

（3）ex＞x＞x＋1（）