《数学分析》欧阳光中教学大纲Word格式.docx

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数列极限定义、性质和运算；

函数极限定义、性质和运算；

海涅定理，重要极限；

连续函数的定义、性质和运算；

一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。

子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。

实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章导数与微分了解：

速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。

导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章微分基本定理及导数的应用

利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。

利用微分求近似值及其误差估计，泰勒公式与马克劳林公式及其余项，渐近线，描图，弧长微分。

微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日，柯西等定理）及其证明和应用，函数的单调性、凸性与极值，用洛比塔法则求待定型的极限。

第六章不定积分

原函数的存在性。

原函数的结构及其几何意义。

原函数、不定积分的概念，含

因子的换元变换、含

因子的欧拉变换与三角函数的万能变换。

基本积分公式及线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，无理函数有理式

与三角函数有理式

的不定积分之求法。

第七章定积分

区边梯形面积之近似求法，变速直线运动路程之近似求法，按定义计算定积分，椭圆积分，周期函数之积分性质。

达布上和与下和的定义及性质，达布定理，定积分存在的第一充要条件，变上限函数与性质，奇、偶函数在对称区间上的积分性质，将有限和式转化为定积分之计算方法。

定积分的定义，可积的必要条件，振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件，可积函数类及定积分的性质，第一积分中值定理，牛顿—莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分，定积分换元积分法、分部积分法。

第八章定积分的应用和近似计算

光滑曲线，定积分的近似计算。

微元法，弧长公式，已知截面面积求体积，质心、平均值、变力作功。

平面图形的面积之求法（直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形），平面曲线的弧长之求法，旋转体的体积与侧面积之求法。

第九章数项级数

上（下）极限定义与相关性质，阿贝尔变换及其性质，黎曼定理、柯西乘积与性质，无穷乘积的概念及其性质与收敛性判断。

收敛级数的性质，积分判别法，阿贝尔与狄里克里判别法，绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

无穷级数收敛与发散的定义，几何级数之敛散性，级数收敛的柯西收敛原理，收敛的必要条件，正项级数收敛的充要条件，比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式，p-级数之敛散性，绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。

第十章广义积分

广义积分的柯西主值。

无穷积分

的敛散性，无穷积分的性质，绝对收敛和条件收敛的概念，无穷积分与数项级数的关系，阿贝尔与狄里克里判别法，第二积分中值定理，瑕积分与无穷积分的关系，瑕积分

的敛散性。

无穷积分敛散性的定义，柯西收敛准则，无穷积分之敛散性的判断（比较、柯西判别法及其极限形式），瑕积分敛散性的定义，柯西收敛准则和柯西判别法及其极限形式。

第十一章函数项级数、幂级数

函数列与函数级数的关系，利用幂级数展开法求近似值，逼近定理。

幂级数的基本概念，内闭一致收敛，阿贝尔与狄里克里判别法，幂级数的收敛半径和收敛区间之概念，柯西-阿达马定理，阿贝尔第一定理与第二定理，函数的幂级数展开及其函数

的马克劳林级数。

函数项级数一致收敛定义与充要条件，一致收敛的魏氏判别法，一致收敛级数之和函数的分析性质（连续、可微、可积），幂级数之和函数的分析性质及其应用。

第十二章富里埃级数和富里埃变换

富里埃级数的引进，富里埃级数的复数形式，富里埃级数的性质，富里埃变换与逆变换及其性质。

三角函数系的正交性，富里埃系数，狄里克里积分，黎曼引理，局部性定理，迪尼判别法及其推理，利普希茨判别法。

富里埃级数收敛判别法与函数的富里埃级数展开。

第十三章多元函数的极限与连续

聚点与聚点定理,n元函数的定义与点函数的概念，二元函数的图象。

邻域、点列的极限、开集、闭集、区域等概念，收敛原理，二次极限的概念以及与二重极限的关系。

闭矩形套、致密性、有限覆盖等定理，二元函数的定义，二重极限的定义，二元函数连续的定义，有界闭区域上函数连续的性质。

第十四章偏导数和全微分

偏改变量的概念，泰勒公式。

高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数相等的充分条件，雅可比行列式，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，方向导数与梯度。

偏导数的定义，全微分的定义，可微的必要和充分条件，复合函数偏导数的链式法则，方程（组）所确定的函数之求导法。

第十五章极值和条件极值

最小二乘法。

实际问题之最值求法（条件与无条件）。

极值的概念及其判别法，条件极值的概念与拉格朗日乘数法。

第十六章隐函数存在定理、函数相关

函数相关与独立的概念，雅可比矩阵与用其判别函数的相关性。

多变量的隐函数（组）存在定理，函数行列式的性质。

形如

情形的隐函数存在定理及其证明与应用，方程组的隐函数组存在定理及其证明与应用

第十七章含参变量积分

含参变量积分的概念及其分析性质，利用分析性质求含参变量积分。

第十八章含参变量的广义积分

狄里克里积分、贝塔函数、伽玛函数的性质。

含参变量广义积分的基本概念，阿贝尔与狄里克里一致收敛判别法。

含参变量广义积分定义，一致收敛定义与魏式判别法，一致收敛积分的性质（连续性、可微性、可积性）及利用分析性质计算含参变量广义积分。

第十九章积分的定义和性质

不同几何形状物体的质量。

几何形体

上黎曼积分统一定义及性质，对应区域上的积分名称（二重、三重、第一类曲线、第一类曲面积分等）

第二十章重积分的计算及应用

曲顶柱体的体积之近似计算。

二重积分的一般变量替换，三重积分的一般变量替换，积分在物理上的应用（质心、矩、引力），广义重积分的概念、性质与敛散性判别法。

直角坐标系下二重积分化为二次积分的求法，用极坐标变换求二重积分，直角坐标系下三重积分化为三次积分的求法，用柱坐标、球坐标变换求三重积分。

第二十一章曲线积分和曲面积分的计算

变力作功，曲面的侧与流量的概念。

曲面的面积计算与高斯系数，第二类曲线、曲面积分的定义及其性质，两类曲线积分之间的联系。

第一类、第二类曲线积分的计算，第一类、第二类曲面积分的计算。

第二十二章各种积分间的联系和场论初步

场的概念，向量线、流量，向量场的环流量与旋度，斯托克斯公式的向量形式，散度与旋度的性质，二阶微分运算，保守场，哈密顿算子，势函数。

原函数及求法，循环常数及其求法，散度与高斯公式的向量形式。

格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，曲线积分与路径的无关性，梯度场。

附录：

向量值函数的导数

向量值函数的概念与线性向量值函数的导数及雅可比矩阵，

向量值函数计算。

链式法则求导法。

四、课程主要内容和学时分配

第一学期（96学时6学时/周）

第一章变量与函数（讲授4课时，习作课2时，共6时）

1、函数的概念

2、复合函数和反函数

3、基本初等函数

第二章极限与连续（讲授24课时，习作10课时，共34学时）

1、数列的极限和无穷大量

2、函数的极限

3、连续函数

4、无穷小量和无穷大量的阶

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明（讲授12学时，习作6学时，共18学时）

1、关于实数的基本定理

2、闭区间上连续函数性质的证明

第四章导数与微分（讲授12学时，习作6学时，共18学时）

1、导数的引进与定义

2、简单函数的导数

3、求导法则

4、复合函数求导法

5、微分及其运算

6、隐函数及参数方程所表示函数的求导法

7、不可导的函数举例

8、高阶导数与高阶微分

第五章微分基本定理及其应用（讲授14学时，习作6学时，共20学时）

1、中值定理

2、泰勒公式

3、函数的升降、凸性与极值

4、平面曲线的曲率

5、待定型

6、方程的近似解

第二学期（96学时6学时/周）

第六章不定积分（讲授12学时，习作6学时，共18学时）

1、不定积分的概念及运算法则

2、不定积分的计算

第七章定积分（讲授10学时，习作6学时，共16学时）

1、定积分的概念

2、定积分存在的条件

3、定积分的性质

4、定积分的计算

第八章定积分的应用和近似计算（讲授10学时，习作4学时，共14学时）

1、平面图形的面积

2、曲线的弧长

3、体积

4、旋转曲面的面积

5、质心

6、平均值、功

7、定积分的近似计算

第九章数项级数（讲授10学时，习作6学时，共16学时）

1、预备知识：

上极限和下极限

2、级数的收敛性及其基本性质

3、正项级数

4、任意项级数

5、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质

6、无穷乘积

第十章广义积分（讲授6学时，习作2学时，共8学时）

1、无穷限的广义积分

2、无界函数的广义积分

第十一章函数项级数、幂级数（讲授10学时，习作4学时，共14学时）

1、函数项级数的一致收敛

2、幂级数

3、逼近定理

第十二章富里埃级数（讲授6学时，习作4学时，共10学时）

1、傅立叶级数

2、傅立叶变换

第三学期（108学时6学时/周）

第十三章多元函数的极限与连续（讲授8学时，习作2学时，共10学时）

1、平面点集

2、多元函数的极限与连续性

第十四章偏导数和全微分（讲授12学时，习作4学时，共16学时）

1、偏导数和全微分的概念

2、求复合函数偏导数的链式法则

3、由方程（组）所确定的函数的求导法

4、空间曲线的切线与法平面

5、曲线的切平面与法线

6、方向导数与梯度

7、泰勒公式

第十五章极值和条件极值（讲授4学时，习作2学时，共6学时）

1、极值和最小二乘法

2、条件极值

第十六章隐函数存在定理、函数相关（讲授6学时，习作2学时，共8学时）

1、隐函数存在定理

2、函数行列式的性质、函数相关

第十七章含参变量积分（讲授2学时，习作2学时，共4学时）

1、含参变量积分

第十八章含参变量的广义积分（讲授5学时，习作3学时，共8学时）

1、含参变量的广义积分

第十九章积分的定义和性质（讲授4学时，习作2学时，共6学时）

1、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念

2、积分的性质

第二十章重积分的计算及应用（讲授16学时，习作6学时，共22学时）

1、二重积分的计算

2、三重积分的计算

3、积分在物理上的应用

4、广义重积分

第二十一章曲线积分和曲面积分的计算（讲授8学时，习作4学时，共12学时）

1、第一类曲线积分的计算

2、第一类曲面积分的计算

3、第二类曲线积分的计算

4、第二类曲面积分的计算

第二十二章各种积分间的联系和场论初步（讲授10学时，习作4学时，共14学时）

1、各种积分间的联系

2、曲线积分与路径的无关性

3、场论初步

向量值函数的导数（讲授2学时，共2学时）

五、课程各教学环节要求

每次授课后布置约一小时可完成的作业量。

基本要求如下：

1、写明具体计算或推理的步骤和引用的公式和定理；

2、作业整齐，字迹工整；

3、不能抄袭作业。

布置作业的目的：

1、深对授课内容的理解并熟悉计算和推理过程中的技巧与方法；

2、能初步培养学生独立思考问题的能力和运用知识独立解决问题的能力；

3、养成多看各类参考书的习惯。

作业布置的具体题量如下：

第一章：

§

1的1/4；

§

2；

3的1/2。

、

第二章：

1的1/2；

2的3/4；

3的2/5；

4的1/3；

第三章：

第四章：

1的1/3；

2的1/2；

3的1/3；

4的1/4；

5的1/3；

6的1/4；

7的1/4；

8的1/4

第五章：

2的1/3；

第六章：

第七章：

3的1/2；

4的1/2；

第八章：

3的1/4；

5的1/4；

第九章：

5的1/3；

第一十章：

第一十一章：

第一十二章：

第一十三章：

第一十四章：

5的3/4；

6的3/4；

7的全部；

第一十五章：

1的2/3；

第一十六章：

第一十七章：

本章的2/3；

第一十八章：

本章的1/2；

第一十九章：

第二十章：

2的2/3；

第二十一章：

第二十二章：

本课程三学期均为闭卷考试；

试卷形式为：

基本概念和简单计算占30%、简单证明与应用占50%、综合证明与应用占20%。

综合成绩主要以期末考试为主；

平时占30-40%。

六、本课程与其他课程的联系：

本课程是学生进入大学后第一门重要基础课，起着承上启下的重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展；

另一方面它又为后续课程，如微分方程、概率论、复变函数、实变函数、微分几何等课程，提供重要的理论基础。

七、教材及教学参考书：

教材：

《数学分析》（上、下册）复旦大学数学系欧阳光中等编，高等教育出版社，2007年第三版

教参：

1、《微积分教程》菲赫金哥尔茨著，叶彦谦等译，人民教育界出版社，1959年第一版

2、《数学分析讲义》（上、下册）刘玉琏、傅沛仁编，高等教育出版社1992年第三版。

八、其它说明

课程网站等

执笔人：

审核人：

系部教学主任：