闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案).doc
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闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷（文科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数满足（为虚数单位），则.
2．若全集，函数的值域为集合，则.
3．方程的解为.
4．函数的最小正周期=.
5．不等式的解集为.
6．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于.
7．已知中，，，其中是基本单位向量，则的面积为.
8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种.
9．若是等差数列的前项和，且，则.
10．若函数，且在上单调递增，则实数的最小值等于.
11．若点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为.
12．已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是.
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：
设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（）,则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为.
14．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．若，且，则“”是“等号成立”的（）.
（A）充要条件（B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件（D）既非充分又非必要条件
16．设，则其反函数的解析式为（）.
（A）（B）
（C）（D）
17．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（）.
（A）（B）（C）（D）
18．函数的定义域为，图像如图1所示；函数的定义域为，图像如图2所示.,,则中元素的个数为（）.
（A）1（B）2（C）3（D）4
x
y
-1
O
1
2
1
图2
x
y
-1
O
1
1
-1
图1
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
C
A
B
D
A1
B1
C1
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱底面，，,，为棱中点，证明异面直线与所成角为，并求三棱柱的体积．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分8分，第
（2）小题满分6分．
O
x
y
A
B
如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，．
（1）若，，求的值；
（2）证明：
．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分．
x
y
A
B
M
N
P
O
大海
某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、，海岸边界近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道，且直线与曲线有且仅有一个公共点（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段是函数图像的一段，点到、的距离分别为千米和千米，点到的距离为千米，点到的距离为千米.以、分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求曲线段的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求直线的方程，并求出公路的长度（结果精确到米）.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）（3）小题满分各6分．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线经过点，设点，且的面积为，求的值；
（3）若直线过点，设直线，的斜率分别为，且成等差数列，求直线的方程.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．
已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：
若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．
（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在
（1）的条件下，求出，并证明：
对任意，；
（3）若数列为“关联数列”，当时,在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列{}中是否存在三项，，（其中成等差数列）成等比数列？
若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案和评分标准
一、（第1题至第14题）
1．2；2．；3．；4．；5．；
6．；7．；8．10；9．；10．；11．；
12．理、文；13．；14．理、文.
二、（第15题至第18题）15．A；16．C；17．B；18．C.
三、（第19题至第23题）19.（本题满分12分）
[证明]在三棱柱中，侧棱底面，，或它的补角即为异面直线与所成角，…………………………2分
由，,以及正弦定理得，即，…………4分
又，，…………6分
………………8分
所以异面直线与所成角的为．……………………10分
三棱柱的体积为．……………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分8分，第
（2）小题满分6分．
[解]
（1）方法一:
，=…3分
，即，…………………………………6分
．…………………………………8分
方法二:
，，即，……………3分
，两边平方得，……………………………6分
．…………………………………8分
（2）[证明]由题意得，，
=………………10分
又因为与夹角为，
=………………………12分
综上成立．……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分．
[解]
（1）由题意得，则，故曲线段的函数关系式为，…4分
又得，所以定义域为.…………………………………6分
（2）（理科），设由得
，,…………8分
，得直线方程为，………10分
得，故点为线段的中点，
由即………………………………12分
得时，，所以，当时，经点至路程最近.……14分
（文科）由
（1）知，设直线方程为，
由得,…8分
，，所以直线方程为，………………10分
得、，……………………………………………………12分
所以千米．答:
公路的长度为千米.………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）（3）小题满分各6分．
[解]
（1）设椭圆的方程为，由题设得，…2分
，椭圆的方程是…………………………4分
（2）设直线，由得
与抛物线有两个交点，，，
则……………………………6分
到的距离，又,8分
，故．………………………10分
（3）（理科），点关于轴的对称点为，
则直线，设得12分
直线，设得…14分
，又，，
．………………………16分
（文科）设直线，由消去得，
在椭圆内部，与椭圆恒有两个交点,设，则，由成等差数列得
…………………12分
，………………………14分
即，直线的方程为．………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．
[解]
（1）为“6关联数列”，前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
且，即，解得……………2分
（或）．……………………4分
（2）由
（1）得（或）
……………………………………6分
，
，可见数列的最小项为，
证明：
，
列举法知当时，；………………………………………8分
当时，，设，则，．………………………10分
（3）（理科）为“关联数列”，且
，
……………………………12分
①当时，由得
，或．
②当时，由得，不存在…………………14分
③当时，由，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，舍去；当时，舍去
当时，舍去；当时，舍去………16分
综上所述，存在或或或．…………………18分
（文科）由
（1）可知，当时，，因为：
，故：
．……………………………13分
假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，则：
，即：
，（*）…15分
因为成等差数列，所以，（*）式可以化简为，
即：
，故，这与题设矛盾．
所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．…18分
（或：
因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而显然不是非零的常数，所以不存在．）
高三年级质量调研考试文科数学试卷第12页共12页
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