解析几何知识点总结.doc

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解析几何知识点总结

第一部分:

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

（1）定义：

直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

（2）范围：

（0,180）

2.斜率：

直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

k=tanα

（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K，

则当X1≠X2时，k=tanα=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：

已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：

y-y0=k（x-x0）

注意：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；

2.斜截式：

若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：

y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：

y=kx

注意：

正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：

若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：

；

注意：

①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：

若已知直线在轴，轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0）则直线方程：

；

注意：

1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

5一般式：

任何一条直线方程均可写成一般式：

Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

三、两条直线的位置关系

位置关系

平行

，且

（A1B2-A2B1=0）

重合

，且

相交

垂直

设两直线的方程分别为：

或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；

五、点到直线的距离公式：

1.点P（X0，Y0）到直线L:

Ax+By+C=0的距离为：

；

2.两平行线L1:

Ax+By+C1=0，L2:

Ax+By+C2=0的距离为：

；

六、直线系：

（1）设直线L1:

A1x+B1y+C1=0，L2:

A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为（除去L2）；

如：

①Y=kx+1→y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点（0,1）除去x=0的直线方程。

②直线L:

（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点。

（2）和L:

Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0

（3）与L:

Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b）关于C（c,d）的对称点（2c-a,2d-b）

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如：

求与已知直线关于点对称的直线的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：

求点关于直线对称的坐标。

②直线关于直线对称：

（设关于对称）

Ⅰ、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a∥L，则b∥L，且a.b与L的距离相等。

Ⅱ、求出a上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。

如：

求直线关于对称的直线的方程。

第二部分：

圆与方程

2.1圆的标准方程：

圆心，半径

特例：

圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：

.

2.2点与圆的位置关系：

1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

（1）点在圆上d=r；

（2）点在圆外d＞r；（3）点在圆内d＜r．

2.给定点及圆.

①在圆内②在圆上

③在圆外

2.3圆的一般方程：

.

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：

（1）方程表示圆的充要条件是：

且且.

圆的直径系方程：

已知AB是圆的直径

2.4直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，（

（1）；

（2）；（3）。

2.5两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

外离外切相交内切内含

2.6圆的切线方程：

直线与圆相切的性质：

（1）圆心到直线距离等于半径r；

（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

过一定点做圆的切线要分成两种情况：

点在圆上和点在圆外。

若点在圆上则切线只有一条，利用性质

（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。

若点在圆外则切线有两条，用性质

（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。

2.7圆的弦长问题：

半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：

第三部分:

椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：

平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程：

①焦点在x轴上：

（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：

（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）

注意：

①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②一般形式表示：

或者

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b

（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：

A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，

记作e（），

e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1（e越大），椭圆越扁；

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

6.几何性质

（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）

（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：

其中

7直线与椭圆的位置关系：

（1）判断方法:

联立直线方程与椭圆方程消y（或x）得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：

（2）弦中点问题:

（用点差法解决—）斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点，则：

（3）弦长公式：

第四部分：

双曲线

双曲线

标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义

第一定义：

平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

P

P

范围

，

，

对称轴

轴，轴；实轴长为,虚轴长为

对称中心

原点

焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：

顶点坐标

（,0）（,0）

（0,,）（0，）

离心率

1）

重要结论

（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）

（2）焦点三角形：

渐近线

方程

共渐近线的双曲线系方程

（）

（）

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为其中C≠0；

（3）离心率；

（4）渐近线：

两条渐近线y=±x互相垂直；

第五部分：

抛物线知识点总结

图象

x

y

O

l

F

x

y

O

l

F

l

F

x

y

O

x

y

O

l

F

定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

{=点M到直线的距离}

范围

对称性

关于轴对称

关于轴对称

焦点

（,0）

（,0）

（0,）

（0,）

焦点在对称轴上

顶点

离心率

=1

准线

方程

焦点到准线的距离

焦半径

焦点弦长

1.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：

（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?

（不一定）

2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线：

抛物线，

①　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

或

b.中点,，

②　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a.在涉及斜率问题时，

b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：

1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

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