线性规划五类经典题型.doc

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线性规划五类经典题型

类型一：

一般线性规划题

类型二：

构造

类型三：

待定系数法

类型四：

整点问题

类型五：

含参数线性规划问题

类型一：

一般线性规划题

4已知实数x，y满足线性约束条件

（1）z＝2x－3y的最大值和最小值；

（2）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；

（3）则的最大值为____________；

（4）z＝的范围；

（5）求的取值范围；

（6）求的取值范围。

[来源:

Z#xx#k.Com]

2.若实数x，y满足约束条件则|3x－4y－10|的最大值为________.

答案　

解析　表示一个三角形ABC及其内部，其中A（1,0），B（0,0），C（，），且可行域在直线3x－4y－10＝0上方，因此|3x－4y－10|＝－3x＋4y＋10，过点C（，）时取最大值，为.

类型二：

构造

1（2012江苏高考）已知正数a，b，c满足：

5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．

[解析]　由条件可得

令＝x，＝y，则问题转化为约束条件为求目标函数z＝＝的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域（如图中阴影部分），过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P（1，e）在区域内．故当直线y＝zx过点P（1，e）时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C时，zmax＝7，故∈[e,7]．

2已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是________．

3、已知的三边长满足，，求的取值范围．

4.已知实数满足且x≥0，则的最大值为______.

类型三：

待定系数法

1.已知－1

6.设点P（x，y）满足条件点Q（a，b）（a≤0，b≥0）满足·≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是________.

答案　

解析　∵·≤1，

∴ax＋by≤1，

∵点P（x，y）满足条件

的区域，如图阴影部分所示，

·≤1，即ax＋by≤1，

且点Q（a，b）满足·≤1恒成立，

只需点P（x，y）在可行域内的交点处：

A（－1,0），B（0,2），ax＋by≤1成立即可，

∴　即

它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为，故答案为.

类型四：

整点问题

1.画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：

（1）指出x，y的取值范围；

（2）平面区域内有多少个整点？

解：

（1）不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．

所以，不等式组表示的平面区域如图所示．

结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．

（2）由图形及不等式组知

当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；

当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；

当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；

当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；

当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；

当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；

∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42（个）．

类型五：

含参数线性规划问题

已知，满足，

（1）能取到最小值为-4，则k=

（2）能取到最小值的点有无数个，则k=

1.已知，满足，且能取到最小值，则实数的取值范围是

2.若实数满足不等式组，且的最大值为9，则实数等于

3.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为

4.设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为（　　）

A．（1,1＋） B．（1＋，＋∞）

C．（1,3） D．（3，＋∞）

解析：

选A　∵m>1，由画出可行域，如图所示．

对于目标函数z＝x＋my，即

y＝－x＋，∴平移直线y＝－x到B处z取值最大，则由得

B，zmax＝＋<2.

解得1－

又∵m>1，∴1