小学奥数加法原理之树形图及标数法专项练习文档格式.docx
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分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行
分类；
其次，分类时要注意满足两条基本原则：
1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确.
运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数.通俗地说，就是“整体等于局部之和”.
三、加法原理解题三部曲
1、完成一件事分N类；
2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；
3、类类相加
枚举法：
枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数.
分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法.枚
举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏.
目眦隹例题精讲
模块一、树形图法
“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然.
【例1】ABC三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
【考点】加法原理之树形图法【难度】3星【题型】解答
【关键词】2005年，小数报
【解析】如图，A第一次传给B,到第五次传回A有5种不同方式.
同理，A第一次传给C,也有5种不同方式.
所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510种.
【答案】10
【巩固】一只青蛙在A,BC三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
【解析】6种，如图，第1步跳到B,4步回到A有3种方法；
同样第1步到C的也有3种
方法.根据加法原理，共有336种方法.
【例2】甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止.问：
一共有多少种可能的情况？
【解析】如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：
图中打，的为胜者，一共有7种可能的情况.同理，乙胜第一局也有7种可能的情况.
共有7+7=14（种）可能的情况.
【例3】如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过
共4种不同的走法。
【答案】4种
模块二、标数法
方法总数.标数法是加法原理与递推思想的结合.
（一）简单图形的标数法
图中B在A的右上方，因此从A出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：
要么是从这个点左边的点来的,
过C来到B点，或者经D来到B点，因此，到达B的走法数目就应该是到达C点的走法数和到达D点的走法数之和，而对于到达C的走法，又等于到达E和到达F的走法之和，到达D的走法也等于到达F和到达G的走法之和，这样我们就归纳出：
根据加法
到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和,
原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数.如图所示,使用标号方法得到从A到B共有10种不同的走法.
10如图，从A点到B点的最近路线有多少条?
【考点】加法原理之标数法【难度】2星【题型】解答
【解析】使用标号法得出到B点的最近路线有20条.
【答案】20
【例5】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角
的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有种不同走法.
【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】解答
【解析】本题是最短路线问题.要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般
采用标数法.如上图所示，共有120种.
另解：
本题也可采用排除法.由于不能经过C,可以先计算出从A到B的最短路线有多少
条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果.
对于从A到B的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；
而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确定了.这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选
择6次向右的种数，为Gw.
一般地，对于mn的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有C^n种.
本题中，从A到B的最短路线共有C；
0种；
从A到C的最短路线共有C2种，从C到B的最短路线共有C：
种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有C2C2种，所以，从A到B且不经过C的最短路线有C*C：
C：
21090120种.
【答案】120
2、题问的是经过C点，或者D点；
那么A到B点就可以分成两条路径了A-C--B；
A--D---B,
那么也就可以分成两类.但是需要考虑一个问题一一A到B点的最短路径会同时经过C和D
点吗？
最短路径只能往上往前，经过观察发现CD不会同时出现在最短路径上了.
3、A---G--B,那么C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了.A--C,最短路径用标数
法标出，同样C--B点用标数法标注，然后相乘
A---D---B,同样道理.最后结果是735+420=1155条.
【答案】1155
B，但不经过C走到D的不同的最
【题型】解答
【例7】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口短路线有条.
【考点】加法原理之标数法【难度】4星
【解析】到各点的走法数如图2所示.
因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；
到B点共有不同线路56条；
到C点共有不同线路71条；
至ijD点共有不同线路15条；
至iJE点共有不同线路36条.所以，少年宫在
B点处.
【答案】B
【例9】一只兔子沿着方格的边从A到B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独
【解析】因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的
走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.有积水的街道不可
能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0.接下来，可以从左上角开始，按照
加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如右上图，从A到B的最短路线
有22条.
【答案】22条
（二）不规则图形的标数法
【例11】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条?
【解析】因为B在A的右上方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的
走法数都等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和.而C是一个特殊
的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C,可以认为到达C点的走法数是
0.接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数.如图，从A到B的最短路线有6条.
【答案】6条
【巩固】小群家到学校的道路如图4所示。
从小君家到学校有种不同的走法。
（只能沿图中向右向下的方向走）
【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第15题
【解析】
小君家1
2
1
3
4
7
10
学校
所以有10种.
【例12]如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里
能连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的
“我们学习好玩的数学”的读法.
【解析】方法一：
标数法.第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择
前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：
（如右上
图，在格子里标数）共70种不同的读法.
方法二：
组合法.仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”走的路线就是向右走
四步，向下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线.所以总
共有C470种不同的读法.
【答案】70
【例12]在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，
正好拼出“APPLE的路线共有多少条？
I
1—3—1
III
1—2—7—2—1
IIIII
1—2—4—15—4—2—1
IIIIIII
1—2—4—8—31—8—4—2—1
3星【题型】解答
【解析】要想拼出英语"
APPLE的单词，必须按照“A-}P^L-E'
的次序拼写.在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径.如下图所示，运用标号法原理标号得出
共有31种不同的路径.
【答案】31
【巩固】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有条.
【解析】如图2所示，利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的
祖
祖国江同明祖囱朗夫祖固明天更祖因明天更美祖@明天更美树a国期夫更美祖国明天更祖国明天a囱叫
祖0
路线271127（条）.
沿着这些线读下去，正好可以读成“我的路线有条.
图2
【答案】127
【巩固】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字,爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”
我
一爱一我
【考点】加法原理之标数法【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第3题
【解析】只有一个思，可以从后向前考虑，用标数法。
共有14641464131
种。
【答案】31种【巩固】右图中的“我爱希望杯”有种不同的读法
11111
我一爱一希一望~杯
:
酝'
?
才,一
1爱一点一望一杯5
■■■-3X
1希一望一杯11
\\/
1望一杯15
\/
杯16
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】“我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16种方法.
【答案】16
【例13]如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走）
共有多少种不同的走法?
面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图.所以一共有11种走法.
【答案】11
【例14]如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein:
按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.
E
1,2\1
1产■♦11
!
■—i
t4,Ys
40C0
1?
40-.1。
30Y
【解析】由E-i-n—s-t-e—i-n的拼法如图2所示.
根据加法原理可得
共有303060（种）不同拼法.
【答案】60
【例15】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间,
但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法?
【解析】我们可以把这个图展开，用箭头标出来就更直观了，然后采用我们学的标数法.
【答案】22【例16】国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于。
位置的“马”只能走到标有x的
方格中，类似于中国象棋中的“马走日”.如果“马”在88的国际象棋棋盘中
图1图2图3
【答案】12
【例17]如图所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从A处做到B
处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道
路最多走一次，那么小兔可以选择的不同路线有条.
【考点】加法原理之标数法【难度】5星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第2题
【解析】采用标数法，如图所示，不同路线共有6条.
【例18】蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下.每个正六边
形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2.春节到来之时，群蜂将在巢上跳
起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：
2010（从某个2出发最后走完四
步后又回到2,如图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上.蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010,共有种方法.
【关键词】迎春杯，高年级，复赛，8题
【解析】图中标2的六边形分两类，第一类如上左图所示，第二类如上右图所示.
从第一类六边形出发，每个六边形都只有1种走法，因此共有6种走法.从第二类六边形出发，每个六边形有4种不同的走法，其中两种是环形回路（细线表示），两种是原路返回（粗线表示），因此共有4624种走法.综上所述，共有24630种不同的走法.
【答案】30
（三）立体图形标数法
【例19】从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如
图所示（虚线表示在地球背面的航线），则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？
【例20]如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条。
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第15题
【解析】直接用标数法，即可。
观察发现，从A点出发的三个面左面、下面、前面所标数相
等，则上面的中间填6,进而中间右填18。
类似的，即可得到到达B段的方法总共
18
A
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第15题
【解析】最短路线有条384条。
【题型】填空
B
128
20
56128
18…寸y56
【答案】384条
有：
18X3=54。
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