离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).doc

资源描述

离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).doc

《离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).doc（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).doc

离散型随机变量的均值与方差

一、考点、热点回顾

【学习目标】

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；

【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望

1.定义：

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

…

则称……为的均值或数学期望，简称期望．

要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．

（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。

（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．

2．性质：

①；

②若（a、b是常数），是随机变量，则也是随机变量，有；

的推导过程如下：

：

的分布列为

…

于是……

＝……）……）＝

∴。

要点二：

离散型随机变量的方差与标准差

1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数

＋＋…＋叫做这组数据的方差。

2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

…

则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．

的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．

要点诠释：

⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。

3.期望和方差的关系：

4.方差的性质：

若（a、b是常数），是随机变量，则也是随机变量，；

要点三：

常见分布的期望与方差

1、二点分布：

若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则

期望

方差

证明：

∵,,,

∴

2、二项分布：

若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则

期望

方差

期望公式证明：

∵，

∴，

又∵，

∴＋＋…＋＋…＋

．

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：

。

若离散型随机变量服从几何分布，且则

期望

方差

要点诠释：

随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

4、超几何分布：

若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则

期望

要点四：

离散型随机变量的期望与方差的求法及应用

1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值；

②求取各个值的概率，写出分布列；

…

③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、：

注意：

常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．

2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用

①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。

④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．

二、典型例题

类型一、离散型随机变量的期望

例1．已知随机变量X的分布列为：

－2

－1

试求：

（1）E（X）；

（2）若y=2X－3，求E（Y）．

【思路点拨】分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于

（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．

【解析】

（1）由随机变量分布列的性质，得

，，

∴。

（2）解法一：

由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得

．

解法二：

由于Y=2X－3，所以y的分布如下：

－7

－5

－3

－1

∴。

【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解．

举一反三：

【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

求.

【答案】

。

【变式2】已知随机变量ξ的分布列为

－2

－1

其中m，n∈[0,1），且E（ξ）＝，则m，n的值分别为________．

【答案】，

由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，

由E（ξ）＝，得－m＝，

∴m＝，n＝.

【变式3】随机变量ξ的分布列为：

0.4

0.3

则E（5ξ＋4）等于（　　）

A．13　　　　B．11C．2.2 D．2.3

【答案】A

由已知得

E（ξ）＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，

∴E（5ξ＋4）＝5E（ξ）＋4＝5×1.8＋4＝13.

【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），，则；

【答案】；

由分布列的概率和为1，有，

又，即，

解得，，故。

例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。

求：

①的概率分布列；②的数学期望。

【思路点拨】本题求取各个值的概率，其类型显然是古典概型。

【解析】①依题意的取值为0、1、2、3、4

=0时，取得2黑球，∴，

=1时，取得1黑球1白球，∴，

=2时，取2白球或1红球1黑球，∴，

=3时，取1白球1红球，∴，

=4时，取2红球，∴，

∴分布列为

②期望.

【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表．

举一反三：

【变式1】随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

所以

1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）×＝3.5．

抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是．

（1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；

（2）求破译密码成功人数的数学期望．

【答案】

（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．

，

则X的概率分布表为

（2）由

（1）知，

即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．

【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．

【答案】抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望，由ξ与的关系为=ξ－5，利用公式

E（）=E（ξ）－5可获解答．

设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：

ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．

所以，由题意得，，，

∴．

又设为抽奖者获利的可能值，则=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为

．

例3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，

（1）求X的概率分布；

（2）求X和Y的数学期望．

【思路点拨】甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．

【解析】

（1），

，

。

所以X的概率分布如下表：

（2）由

（1）知，

或由题意，。

∴，。

【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值．

举一反三：

【变式1】有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望。

【答案】设抽出次品数为，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，

所以,

所以

【变式2】

一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。

【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，

则~B（20,0.9）,,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

类型二、离散型随机变量的方差

例4．已知离散型随机变量的概率分布为

离散型随机变量的概率分布为

3．7

3．8

3．9

4．1

4．2

4．3

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

【解析】；

；

=0.04,.

【总结升华】本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=

0.2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

举一反三：

【变式1】已知随机变量ξ的分布列如下表：

－1

（1）求E（ξ），D（ξ），η；

（2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．

【答案】

（1）；

，。

（2），。

【变式2】设随机变量X的概率分布为

…

求D（X）。

【答案】本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2来解．

解法一：

，

∴

。

解法二：

由解法一可求得。

又

，

∴。

例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。

【思路点拨

展开阅读全文