第2课时命题及其关系答案Word格式.docx
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考点一 四种命题及其关系
命题点
1.命题的改写2.命题的真假判定
[例1]
（1）命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是（ ）
A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a＞b，则a－1＜b－1
C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1
解析：
根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
答案：
C
（2）命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0（x，y∈R），则x2＋y2≠0
将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0.
D
（3）有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中正确的命题为（ ）
A．①② B．②③
C．④D．①②③
①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；
③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；
④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.
[方法引航]
（1）在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.
（2）当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；
若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.
1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．
“当c＞0时”为大前提，其逆否命题为：
当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.
当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b
2．下面是关于复数z＝
的四个命题：
p1：
|z|＝2，
p2：
z2＝2i，
p3：
z的共轭复数为1＋i，
p4：
z的虚部为－1.
其中的真命题为（ ）
A．p2，p3B．p1，p2
C．p2，p4D．p3，p4
选C.z＝
＝
＝－1－i，
所以|z|＝
，p1为假命题；
z2＝（－1－i）2＝（1＋i）2＝2i，p2为真命题，
＝－1＋i，p3为假命题；
p4为真命题．故选C.
考点二 充分条件与必要辄条件的判断
1.定义法
2.等价命题法
3.集合法
[例2]
（1）“x＞1”是“
”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
∵x＞1⇒
，
⇒x＋2＞1⇒x＞－1，
∴“x＞1”是“
”的充分而不必要条件．
B
（2）“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
x2－3x＋2＝0，即（x－2）（x－1）＝0，
∴x＝1或x＝2.
∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，
∴“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件．
（3）设p：
1＜x＜2，q：
2x＞1，则p是q成立的（ ）
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
P集合为（1,2），q集合为（0，＋∞），p
q，故选A.
A
[方法引航]
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断.
（2）集合法：
根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.
1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
选A.y＝log2x（x＞0）为增函数，当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0；
反之，若log2a＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．
2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是（ ）
A．
p⇔
sB．p⇔s
C．
p⇒
sD．
s⇒
选C.由已知得：
q⇒p，s⇒q，则s⇒p，由于原命题与逆否命题等价，所以s⇒p等价于
p⇒
s，故选C.
3．“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的（ ）
选B.由ln（x＋1）＜0得0＜x＋1＜1，∴－1＜x＜0即（－1,0）
（－∞，0），
∴“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的必要不充分条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数
求条件或结论中的参数
[例3]
（1）已知条件p：
|x－4|≤6；
条件q：
（x－1）2－m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[21，＋∞）B．[9，＋∞）
C．[19，＋∞）D．（0，＋∞）
条件p：
－2≤x≤10，条件q：
1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有
解得m≥9.
（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[0,3]
[方法引航] 由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.
1．本例
（2）条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例
（2）条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
由例
（2）知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S⇒/P.
∴PS
∴m≥9.
[思想方法]
集合的关系与充分、必要条件“再牵手”
集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解．
[典例]设条件p：
|x－2|＜3，条件q：
0＜x＜a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．（0,5] B．（0,5）
C．[5，＋∞）D．（5，＋∞）
[解析] p：
|x－2|<
3，∴－3<
x－2<
3，即－1<
x<
5，
设p＝（－1,5），q＝（0，a），∵p是q的必要不充分条件，
∴（0，a）（－1,5），∴0<
a≤5.
[答案] A
[高考真题体验]
1．（高考山东卷）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
选D.命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D.
2．（高考天津卷）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
选C.令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但不满足x＞|y|；
又x＞|y|≥y，∴x＞y成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．
3．（高考四川卷）设p：
实数x，y满足x＞1且y＞1，q：
实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（ ）
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
选A.当x＞1且y＞1时，x＋y＞2，即p⇒q所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y＞2，但x＜1，即q
p所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．故选A.
4．（高考天津卷）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
选C.a2n－1＋a2n＝a2n－1（1＋q）＝a1q2n－2（1＋q）＜0⇔q＜－1⇒q＜0，故必要性成立；
而q＜0⇒/q＜－1，故充分性不成立．故选C.
5．（高考四川卷）设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足
则p是q的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
选A.如图，命题p表示圆心为（1,1），半径为
的圆及其内部，命题q表示的是图中的阴影区域，所以p
q，q⇒p.故选A.
6．（高考山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
课时规范训练
A组 基础演练
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
选B.依题意得，原命题的逆命题：
若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac
B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．
3．若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|（x＋2）（x－a）＜0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
选A.当a＝1时，B＝{x|－2＜x＜1}，满足A∩B＝∅；
反之，若A∩B＝∅，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
选A.A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
5．已知条件p：
x≤1，条件q：
＜1，则綈p是q的（ ）
选A.由x＞1得
＜1；
反过来，由
＜1不能得知x＞1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.
6．给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3B．2
C．1D．0
选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，
则函数y＝f（x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
7．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
A．m＝－2B．m＝2
C．m＝－1D．m＝1
选A.已知函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；
反之也成立．
所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
8．有四个关于三角函数的命题：
sinx＝siny⇒x＋y＝π或x＝y；
∀x∈R，sin2
＋cos2
＝1；
x，y∈R，cos（x－y）＝cosx－cosy；
∀x∈
＝cosx.
其中真命题是（ ）
A．p1，p3B．p2，p3
C．p1，p4D．p2，p4
选D.对于命题p1，若sinx＝siny，则x＋y＝π＋2kπ，k∈Z或者x＝y＋2kπ，k∈Z，所以命题p1是假命题．对于命题p2，由同角三角函数基本关系知命题p2是真命题．对于命题p3，由两角差的余弦公式可知cos（x－y）＝cosxcosy＋sinxsiny，所以命题p3是假命题．对于命题p4，由余弦的倍角公式cos2x＝2cos2x－1得
，又因为x∈
所以cosx≥0，所以
＝cosx，所以命题p4是真命题．综上，选D.
9．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
若|a|＝|b|，则a＝－b
10．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）
①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；
②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；
③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；
④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
①③
B组 能力突破
1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线；
q：
l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；
而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.
2．已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（ ）
选A.当m＝－3时，a＝（9，－9），b＝（1，－1），则a＝9b，所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；
当a∥b时，m2＝9，得m＝±
3，
所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”
“a∥b”．
故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
3．函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：
f′（x0）＝0；
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
选C.由于q⇒p，则p是q的必要条件；
而p
q，如f（x）＝x3在x＝0处f′（0）＝0，而x＝0不是极值点，故选C.
4．已知p：
x＞1或x＜－3，q：
x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3]
选A.法一：
设P＝{x|x＞1或x＜－3}，Q＝{x|x＞a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1，故选A.
法二：
令a＝－3，则q：
x＞－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.
5．设条件p：
实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；
实数x满足x2＋2x－8＞0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2＜0得3a＜x＜a，由x2＋2x－8＞0得x＜－4或x＞2，因为q是p的必要不充分条件，则
所以a≤－4.
（－∞，－4]
6．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
由x2＞1，得x＜－1，或x＞1.又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
－1
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