浙江温州市2013年4月二模数学(理科)试卷.doc
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2013年温州市高三第二次适应性测试
数学（理科）试题2013.4
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
参考公式：
如果事件互斥，那么棱柱的体积公式
如果事件相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
一、其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
球的体积公式表示棱台的高
其中表示球的半径
选择题部分（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知全集，集合，，则（▲）
A． B． C． D．
2．“”是“直线与圆相切”的（▲）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．在中，角所对的边分别为，若，则（▲）
A． B． C． D．
（第4题图）
4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（▲）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（▲）
A．若平面不平行于平面，则内不存在直线平行
于平面
B．若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直
于平面
C．若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线
D．若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线
6．已知，则有（▲）
A． B．
C． D．
7．已知三个不全相等的实数，，成等比数列，则可能成等差数列的是（▲）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．以下函数中满足的是（▲）
A． B． C． D．
9．若实数x，y满足不等式组，则的最大值是（▲）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．抛物线的准线交轴于点，焦点为，，是抛物线的两点．已知，，三点共线，且，，成等差数列，直线的斜率为，则有（▲）
A．B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
（第13题图）
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．是虚数单位，，若，则▲．
12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为▲．
13．设，
则▲．
14．已知正的边长为1，，，
则▲．
15．有三位同学为过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物．设恰好抽到自己准备的礼物的人数为，则的数学期望▲．
16．已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点，则的面积等于▲．
17．设函数，已知存在，使得，，则
的取值范围是▲．
三、解答题：
本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）
已知，，．
（I）求的值；
（II）当时，求的值域．
19．（本题满分14分）
已知数列的前项和为，，当时，，，成等差数列．
（I）求证：
是等比数列；
（II）求数列的前项和．
20．（本题满分14分）已知矩形中，，，，分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上．
（第20题图）
（I）求证：
∥平面；
（II）求二面角的大小．
21．（本题满分15分）如图，直线与椭圆交于，两点，，在轴两侧，，是圆上的两点，且与，与的横坐标相同，纵坐标同号．
（I）求证：
点纵坐标是点纵坐标的2倍，并计算的取值范围；
（II）试问直线是否经过一个定点，若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由．
（第21题图）
22．（本题满分15分）已知函数．
（I）若关于的不等式恒成立，求实数的最小值；
（II）对任意的，已知存在，使得，
求证：
．
2013年温州市高三第二次适应性测试
数学（理科）试题参考答案2013.4
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
A
B
C
B
D
C
D
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．212．813．-114．15．116．417．
三、解答题：
18．解：
（I）………………………2分
……………………………………4分
……………………………………………6分
∴………………………………………………………7分
（II）∵∴…………………………………9分
∴，
∴
∴……………………………………………………14分
19．（I）证明：
∵，，成等差数列
∴…………………………………………2分
∴即…………………4分
∴………………6分
∴是首项为，公比为的等比数列………………7分
（II）解：
由（I）可知∴……………………………9分
当时，
又∵
∴………………………………………………11分
∴
（1）
（2）
（1）-
（2）得：
-
∴………………………………………………14分
20．（I）∵∥∥
∴∥平面，∥平面
∴平面∥平面
∴∥平面……………………………………………………6分
（II）方法一：
由（I）可知平面∥平面
∴二面角与二面角互补……………………8分
过作于，连结
∵平面∴∴平面∴
∵，，
∴∵∴
又∵，∴
∵∴…………10分
过作交延长线于点，连结
∵平面∴
∴平面∴
∴为二面角的平面角…………………………12分
∵∴
∴二面角的大小为……………………………………14分
方法二：
如图，过作∥，过作平面
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系…………8分
∵在平面上的射影在直线上，设（）
∵，，
∴
∴………………………………10分
∴
∴
设平面的法向量为又有
∴…………………………………12分
又∵平面的法向量为
设二面角的大小为，显然为钝角
∴∴………………………14分
21.（I）证明：
设，根据题意：
∵，同号，∴…………3分
设，同理可得
∴，
由
∵在轴的两侧∴
∴∴…………6分
【这里的取值范围直接从图中观察得到，照样给分】
∴……9分
（II）解：
∵直线的斜率………………………………………12分
∴直线的方程为
∵∴直线的方程为
∴直线过定点…………………………………………………………15分
22．（I）解：
由解得…………………………………………………2分
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴……………………………………………………………………4分
∵关于的不等式恒成立∴
∴即的最小值为…………………………………………………………6分
（II）证明：
∵对任意的，若存在，使得
即
∴………………………………………8分
令，则有………………10分
∴，
当时，，又有
∴即在上是减函数…………………………………12分
又∵
令，∴
设，∴
设，
∴（），∴在是减函数，∴
∴，∴在是减函数，∴
∴……………………………………………14分
∵在上是减函数，∴．…………………………………15分
高三数学（理科）试卷第10页
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