人教版理数高考一轮复习 第2章 第5节 指数与指数函数Word文档格式.docx
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（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：
＝＝
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
（2）有理数指数幂的运算性质
①ar·
as＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
3．指数函数的图象与性质
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域
R
值域
（0，＋∞）
性质
过定点（0,1）
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
[知识拓展] 指数函数的图象与底数大小的比较
判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
如图2 5 1是指数函数
（1）y＝ax，
（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
图2 5 1
[基本能力自测]
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）
＝（
）n＝a.（ ）
（2）（－1）
＝（－1）
.（ ）
（3）函数y＝2x－1是指数函数．（ ）
（4）函数y＝a
（a＞1）的值域是（0，＋∞）．（ ）
（5）若am＜an（a＞0且a≠1），则m＜n.（ ）
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
（5）×
2．（教材改编）化简[（－2）6]
－（－1）0的结果为（ ）
A．－9 B．7 C．－10 D．9
B [原式＝（26）
－1＝8－1＝7.]
3．函数y＝ax－a（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
A B C D
C [法一：
令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点（1,0），符合条件的只有选项C．
法二：
当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过（1,0），A，B，都不合适；
当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D．]
4．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax－2－3的图象必过定点________．
（2，－2） [令x－2＝0，则x＝2，此时f（x）＝1－3＝－2，
故函数f（x）＝ax－2－3的图象必过定点（2，－2）．]
5．指数函数y＝（2－a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
（1,2） [由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]
（对应学生用书第20页）
指数幂的运算
化简下列各式：
[易错警示]
（1）指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序.
（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
[跟踪训练] 化简下列各式：
指数函数的图象及应用
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图2 5 2所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
图2 5 2
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
（2）若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
（1）D [由f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f（x）＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.]
（2）[解]
曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，
则b的取值范围是（0,1）．
若将本例
（2）中的条件改为“函数y＝|2x－1|在（－∞，k]上单调递减”，则k的取值范围是什么？
[解] 因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为（－∞，0]，所以k≤0，
即k的取值范围为（－∞，0]．
[规律方法] 指数函数图象的画法（判断）及应用方法
（1）画（判断）指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），
.
（2）与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.
（3）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
[跟踪训练]
（1）（2017·
郑州模拟）定义运算a
b＝
则函数f（x）＝1
2x的图象是（ ）
（2）方程2x＝2－x的解的个数是________.
【导学号：
97190043】
（1）A
（2）1 [
（1）因为当x≤0时，2x≤1；
当x＞0时，2x＞1.
则f（x）＝1
2x＝
故选A．
（2）方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如图）．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]
指数函数的性质及应用
◎角度1 比较指数式的大小
下列各式比较大小正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62
C．0.8－0.1＞1.250.2D．1.70.3＜0.93.1
B [A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，
所以0.6－1＞0.62.
C中，因为0.8－1＝1.25，
所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，
所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.
D中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.]
◎角度2 解简单的指数方程或不等式
设函数f（x）＝
若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－3） B．（1，＋∞）
C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）
C [当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为
－7＜1，即
＜8，即
＜
，因为0＜
＜1，所以a＞－3，所以－3＜a＜0；
当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为
＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是（－3,1）．故选C．]
◎角度3 探究指数型函数的性质
函数y＝
的单调减区间为________.
97190044】
（－∞，1] [设u＝－x2＋2x＋1，
∵y＝
为减函数，
∴函数y＝
的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为（－∞，1]，
∴所求减区间为（－∞，1]．]
[规律方法] 与指数函数性质有关的问题类型与解题策略
（1）比较指数式的大小：
①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
（2）解简单的指数方程或不等式：
可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解.
（3）探究指数型函数的性质：
与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致.
北京高考）已知函数f（x）＝3x－
，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
（2）不等式2x2－x＜4的解集为______．
（3）函数y＝
－
＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
（1）B
（2）{x|－1＜x＜2}
（3）
[
（1）∵函数f（x）的定义域为R，
f（－x）＝3－x－
－3x＝－f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
∵函数y＝
在R上是减函数，
∴函数y＝－
在R上是增函数．
又∵y＝3
在R上是增函数，
∴函数f（x）＝3
故选B．
（2）∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，
∴－1＜x＜2.
（3）∵x∈[－3,2]，
∴令t＝
，则t∈
故y＝t
－t＋1＝
＋
当t＝
时，ymin＝
；
当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为
.]
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