第2章6 正态分布Word文件下载.docx

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于是该正态分布密度函数的解析式是

，x∈（－∞，＋∞），随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝（

）2＝2.

反思与感悟　利用图像求正态分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：

一是对称轴为x＝μ，二是最大值为

.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f（x）中便可求出相应的解析式．

跟踪训练1　若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

，求该正态分布的分布密度函数的解析式．

题点　求正态分布的均值与方差

解　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，

所以其图像关于y轴对称，即μ＝0.

由

，得σ＝4，

故该正态分布的分布密度函数的解析式是

，x∈（－∞，＋∞）．

类型二　利用正态分布的对称性求概率

例2　设X～N（1,22），试求：

（1）P（－1<

X≤3）；

（2）P（3<

X≤5）；

（3）P（X>

5）．

题点　正态分布下的概率计算

解　因为X～N（1,22），所以μ＝1，σ＝2.

X≤3）＝P（1－2<

X≤1＋2）

＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.683.

（2）因为P（3<

X≤5）＝P（－3≤X<

－1），

所以P（3<

X≤5）＝

[P（－3<

X≤5）－P（－1<

X≤3）]

[P（1－4<

X≤1＋4）－P（1－2<

X≤1＋2）]

[P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]

×

（0.954－0.683）＝0.1355.

5）＝P（X≤－3）＝

[1－P（－3<

X≤5）]＝

[1－P（1－4<

X≤1＋4）]＝0.023.

引申探究　

本例条件不变，若P（X>

c＋1）＝P（X<

c－1），求c的值．

解　因为X服从正态分布N（1,22），所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P（X>

c－1），因此

＝1，即c＝1.

反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法

（1）对称法：

由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：

①P（X<

a）＝1－P（X≥a）．

②P（X<

μ－a）＝P（X>

μ＋a）．

（2）“3σ”法：

利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．

跟踪训练2　已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<

4）＝0.8，则P（0<

ξ<

2）等于（　　）

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

答案　C

解析　∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），

∴μ＝2，对称轴是x＝2.

∵P（ξ<

4）＝0.8，∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，

∴P（0<

4）＝0.6，

2）＝0.3.故选C.

类型三　正态分布的应用

例3　有一种精密零件，其尺寸X（单位：

mm）服从正态分布N（20,4）．若这批零件共有5000个，试求：

（1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；

（2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

考点　正态分布的应用

题点　正态分布的实际应用

解　

（1）∵X～N（20,4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，

μ＋σ＝22，

于是尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.

（2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，

∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是

＝2.15%.

因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×

2.15%≈108（个）．

反思与感悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．

跟踪训练3　在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80,52），现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，则该班同学成绩在90分以上的有多少人？

解　∵成绩服从正态分布N（80,52），

∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，

∴成绩在（75,85]内的同学占全班同学的68.3%，成绩在（80,85]内的同学占全班同学的34.15%，设该班有x人，则x·

34.15%＝17，解得x≈50.

∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，

∴成绩在（70,90]内的同学占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%，即有50×

2.3%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人.

1．设两个正态分布N（μ1，σ

）（σ1>

0）和N（μ2，σ

）（σ2>

0）的分布密度函数图像如图所示，则有（　　）

A．μ1<

μ2，σ1<

σ2B．μ1<

μ2，σ1>

σ2

C．μ1>

σ2D．μ1>

考点　正态分布密度函数的概念

题点　正态曲线

答案　A

解析　根据正态曲线的特点：

正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线：

当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.

2．正态分布N（0,1）在区间（－2，－1）和（1,2）上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（　　）

A．P1＝P2B．P1＜P2

C．P1＞P2D．不确定

题点　正态曲线性质的应用

解析　根据正态曲线的特点，图像关于x＝0对称，可得在区间（－2，－1）和（1,2）上取值的概率P1，P2相等．

3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为

，则μ等于（　　）

A．1B．2C．4D．不能确定

解析　因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为

，由Δ＝16－4ξ<

0，得ξ>

4，即P（ξ>

4）＝

＝1－P（ξ≤4），故P（ξ≤4）＝

，所以μ＝4.

4．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]和（μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90,152），则此次考试成绩在区间（60,120]内的学生大约有（　　）

A．997人B．972人C．954人D．683人

解析　依题意可知μ＝90，σ＝15，故P（60<

X≤120）＝P（90－2×

15<

X≤90＋2×

15）＝0.954,1000×

0.954＝954，故大约有学生954人．

5．设随机变量X～N（2,9），若P（X>

c－1）．

（1）求c的值；

（2）求P（－4<

X≤8）．

解　

（1）由X～N（2,9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），

又P（X>

c－1），

故有2－（c－1）＝（c＋1）－2，

∴c＝2.

（2）P（－4<

X≤8）＝P（2－2×

3<

X≤2＋2×

3）＝0.954.

1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．

2．正态总体在某个区间内取值的概率求法

（1）熟记P（μ－σ<

X≤μ＋σ），P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<

X≤μ＋3σ）的值．

（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

a）＝1－P（X≥a），P（X<

μ＋a），

若b<

μ，则P（X<

μ－b）＝

一、选择题

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图像，且f（x）＝φμ，σ（x）＝

，则这个正态总体的均值与标准差分别是（　　）

A．10与8B．10与2

C．8与10D．2与10

答案　B

解析　由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.

2．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ>

0），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）等于（　　）

A．0.16B．0.32

C．0.68D．0.84

解析　∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，

∵P（ξ≤4）＝0.84，

∴P（ξ≥4）＝1－0.84＝0.16，

∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝0.16.

3．已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6]内的概率为（　　）

（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<

ξ≤μ＋σ）＝68.3%，P（μ－2σ<

ξ≤μ＋2σ）＝95.4%）

A．4.6%B．13.55%

C．27.1%D．31.7%

解析　由正态分布的概率公式，知P（－3<

ξ≤3）＝0.683，P（－6<

ξ≤6）＝0.954，

故P（3<

ξ≤6）＝

＝0.1355＝13.55%，故选B.

4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　）

若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.683，

P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.954）

A．2385B．2710C．4770D．3415

答案　D

解析　由X～N（0,1）知，P（－1＜X≤1）＝0.683，

∴P（0≤X≤1）＝

0.683＝0.3415，故S≈0.3415.

∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为

，∴x＝10000×

0.3415＝3415，故选D.

5．设X～N（μ1，σ

），Y～N（μ2，σ

），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）

B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

C．对任意正数t，P（X≤t）>

P（Y≤t）

D．对任意正数t，P（X≥t）>

P（Y≥t）

解析　由题图可知μ1<

0<

σ2，

∴P（Y≥μ2）<

P（Y≥μ1），故A错；

P（X≤σ2）>

P（X≤σ1），故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P（X≤t）>

P（Y≤t），

而P（X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t）＝1－P（Y≥t），

∴P（X≥t）<

P（Y≥t），故C正确，D错．

6．如果正态总体的数据落在（－3，－1）内的概率和落在（3,5）内的概率相等，那么这个正态总体的均值是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析　正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间（－3，－1）和（3,5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间（－3，－1）和（3,5）关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.

7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N（110,52），据此估计，大约应有57人的分数在区间（　　）

A．（90,110]B．（95,125]

C．（100,120]D．（105,115]

解析　∵X～N（110,52），∴μ＝110，σ＝5.

因此考试成绩在区间（105,115]，（100,120]，（95,125]上的概率分别是0.683,0.954,0.997.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×

0.683≈41,60×

0.954≈57,60×

0.997≈60.

8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98,100）．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（　　）

A．1498名B．1700名

C．4500名D．8000名

解析　因为理科生的数学成绩X服从正态分布N（98,100），所以P（X≥108）＝

[1－P（88<

X≤108）]＝

[1－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]＝

（1－0.683）＝0.1585，所以0.1585×

9450≈1498，故该学生的数学成绩大约排在全市第1498名．

二、填空题

9．已知随机变量X服从正态分布N（a,4），且P（X≤1）＝0.5，则实数a的值为________．

答案　1

解析　∵X服从正态分布N（a,4），∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P（X≤1）＝0.5，故a＝1.

10．设随机变量X～N（4，σ2），且P（4<

8）＝0.3，则P（X<

0）＝________.

答案　0.2

解析　概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.

11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为

，则总体落入区间（0,2]内的概率为________．

答案　0.477

解析　正态分布密度函数是f（x）＝

，x∈（－∞，＋∞），若它是偶函数，则μ＝0，

∵f（x）的最大值为f（μ）＝

，∴σ＝1，

X≤2）＝

P（－2<

P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）＝

0.954＝0.477.

三、解答题

12．已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上是增函数，在（80，＋∞）上为减函数，且P（72<

X≤88）＝0.683.

（1）求参数μ，σ的值；

（2）求P（64＜X≤72）．

解　

（1）由于正态曲线在（－∞，80）上是增函数，

在（80，＋∞）上是减函数，

所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.

又P（72<

结合P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.683，可知σ＝8.

（2）因为P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）＝P（64<

X≤96）

＝0.954.

又因为P（X≤64）＝P（X>

96），

所以P（X≤64）＝

（1－0.954）

0.046＝0.023.

所以P（X>

64）＝0.977.

又P（X≤72）＝

[1－P（72<

X≤88）]

（1－0.683）＝0.1585，

72）＝0.8415，

P（64<

X≤72）

＝P（X>

64）－P（X>

72）

＝0.1355.

13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X（分钟）服从正态分布N（5,1）；

第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N（6,0.16）．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？

若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？

解　还有7分钟时：

若选第一条路线，即X～N（5,1），能及时到达的概率

P1＝P（X≤7）＝P（X≤5）＋P（5<

X≤7）＝

＋

X≤μ＋2σ）．

若选第二条路线，即X～N（6,0.16），能及时到达的概率

P2＝P（X≤7）＝P（X≤6）＋P（6<

P（μ－2.5σ<

X≤μ＋2.5σ）．

因为P1<

P2，所以应选第二条路线．

同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．

四、探究与拓展

14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（μ，22），且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________．

答案　683

解析　依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P（58.5<

X≤62.5）＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.683，从而属于正常情况的人数约为1000×

0.683＝683.

15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P（187.8<

Z≤212.2）；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求EX.

≈12.2）

题点　正态分布的综合应用

解　

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数

和样本方差s2分别为

＝170×

0.02＋180×

0.09＋190×

0.22＋200×

0.33＋210×

0.24＋220×

0.08＋230×

0.02＝200，

s2＝（－30）2×

0.02＋（－20）2×

0.09＋（－10）2×

0.22＋0×

0.33＋102×

0.24＋202×

0.08＋302×

0.02＝150.

（2）①由

（1）知，Z～N（200,150），从而P（187.8<

Z≤212.2）＝P（200－12.2<

Z≤200＋12.2）＝0.683.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2]的概率为0.683，依题意知X～B（100,0.683），

所以EX＝100×

0.683＝68.3.