广东省深圳市高考数学一模试卷理科解析版.doc

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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（　　）

A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（　　）

A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b，则=（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

5．直线l：

kx+y+4=0（k∈R）是圆C：

x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（　　）

A． B． C． D．2

6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：

“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（　　）

A．4π B．πh2 C．π（2﹣h）2 D．π（4﹣h）2

7．函数f（x）=•cosx的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（　　）

A．ac＞bc B．ac＞bc

C．loga（a﹣c）＞logb（b﹣c） D．＞

9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（　　）

A．335 B．336 C．337 D．338

10．已知F是双曲线E：

﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B．2 C．3 D．4

11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）

A．（0，） B．（2，+∞） C．（e+，+∞） D．（+，+∞）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=　　．

14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为　　（用数字作答）．

15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=　　．

16．已知数列{an}满足nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若an＜an+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　　．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．

（1）求C；

（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．

18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

（1）证明：

平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．

（1）求某户居民用电费用y（单位：

元）关于月用电量x（单位：

度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足

（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

20．已成椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：

x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．

21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．

（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；

（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；

（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：

|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线E的极坐标方程；

（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：

+为定值，并求出这个定值．

[选修4-5：

不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．

（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；

（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（　　）

A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：

∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，

∴A∩B={4，6}，

故选：

B．

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（　　）

A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．

【解答】解：

==，

∵复数（a∈R）为纯虚数，

∴，解得：

a=﹣2．

故选：

C．

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．

【解答】解：

袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，

现从中随机选取三个球，

基本事件总数n==4，

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：

（2，3，4），（2，4，6），共有2个，

∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．

故选：

B．

4．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b，则=（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由等比数列{an}的前n项和求出前3项，由此能求出利用等比数列{an}中，，能求出．

【解答】解：

∵等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b，

∴a1=S1=a+b，

a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a，

a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a，

∵等比数列{an}中，，

∴（2a）2=（a+b）×6a，

解得=﹣3．

故选：

A．

5．直线l：

kx+y+4=0（k∈R）是圆C：

x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（　　）

A． B． C． D．2

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：

kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），求得k的值，可得点A的坐标，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．

【解答】解：

∵圆C：

x2+y2+4x﹣4y+6=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=2，

表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆．

由题意可得，直线l：

kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），

故有﹣2k+2+4=0，∴k=3，点A（0，3）．

直线m：

y=x+3，圆心到直线的距离d==，

∴直线m被圆C所截得的弦长为2=．

故选：

C．

6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：

“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（　　）

A．4π B．πh2 C．π（2﹣h）2 D．π（4﹣h）2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆，明确其半径求面积．

【解答】解：

由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；

故选B．

7．函数f（x）=•cosx的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．

【解答】解：

f（﹣x）=•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴函数f（x）的图象关于原点对称，

当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，

∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，

故选：

C

8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（　　）

A．ac＞bc B．ac＞bc

C．loga（a﹣c）＞logb（b﹣c） D．＞

【考点】不等式的基本性质．

【分析】根据不等式的性质求出a（b﹣c）＞b（a﹣c）以及a﹣c＞b﹣c＞0，从而求出答案．

【解答】解：

∵a＞b＞0，c＜0，﹣c＞0，

∴a﹣c＞b﹣c＞0，ac＜bc，

故a（b﹣c）＞b（a﹣c），

故＞，

故选：

D．

9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（　　）

A．335 B．336 C．337 D．338

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．

【解答】解：

模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个