平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案).doc

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平面向量基本定理和坐标表示

【知识清单】

1．两个向量的夹角

（1）已知两个____向量，在平面内任取一点,作＝，＝，则叫做向量与的夹角

（2）向量夹角的范围是__________，当________时，两向量共线，

当____________时，两向量垂直，记作⊥

2．平面向量基本定理及坐标表示

（1）平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量，__________一对实数，使＝______________．其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组________．

（2）平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．

（3）平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，把有序数对________叫做向量的坐标，记作＝__________，其中______叫做在轴上的坐标，______叫做在轴上的坐标．

②，则向量的坐标就是________的坐标，即若，则A点坐标为__________，反之亦成立（O是坐标原点）．

3．平面向量的坐标运算

向量加法和减法

若

则

实数与向量的乘积

若则

向量的坐标

若起点终点

则

4．平面向量共线的坐标表示

设，其中，⇔__________________________．

1.已知平面向量，且，则（    ）

A    B    C．     D．

2.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（   ）

A.     

B.

C.    

D.

3.已知，则与平行的单位向量为（  ）.

A.B.  

C.      D.

4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（   ）    

A． B． C．   D．

5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（　　）

A2   B.C.D.

6.已知A（－3，0）、B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设，则的值为（    ）

A、  B、 C、  D、

7.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（   ）

A.        B.  

C.         D.

8.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围      ．

9.,若，则  ;若,则   

10.向量，若向量与向量共线，则  .

11.P是△ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.

12.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.

13.已知，且，求M、N及的坐标.

14.i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值

15.已知向量，向量.

（1）若向量与向量垂直，求实数的值；

（2）当为何值时，向量与向量平行？

并说明它们是同向还是反向.

16.在中，分别是内角的对边，且，,若.

（1）求的大小；

（2）设为的面积，求的最大值及此时的值.

平面向量基本定理及坐标表示答案

BBBABCB

8.9.. ，10.2

11　

　　又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线

　　而，为不共线向量

　　故：

12.设　　　　　　　又　　　…①

　又而

　　　　　　　………………②

　　　　　比较①②，由平面向量基本定理得：

　　　　　解得：

或（舍），把代入得：

　　　　　.

13.：

　设，则　　　　　

同理可求，因此　　　　

14，∵=-=（-2i+j）-（i+λj）=-3i+（1-λ）j

∵A、B、D三点共线,

∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ,

即3i+2j=μ［-3i+（1-λ）j］=-3μi+μ（1-λ）j

∵i与j是两不共线向量,由基本定理得:



故当A、B、D三点共线时,λ=3.

15.解：

，

.

（1）由向量与向量垂直，

得，

解得.                           

（2），得，解得.

此时，所以方向相反.

略

16