导数选择题之构造函数法解不等式的一类题.docx

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导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

一、单选题

1．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）>f'（x），且f（x）+2018为奇函数，则不等式f（x）+2018ex<0的解集为

A．（-∞,0）B．（0,+∞）C．（-∞,1e）D．（1e,+∞）

2．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x<0时，f'（x）0成立的x的取值范围是（）

A．（-∞,-1）∪（0,1）B．（-∞,-1）∪（-1,0）

C．（0,1）∪（1,+∞）D．（-1,0）∪（0,+∞）

3．定义在R上的偶函数f（x）的导函数f'（x），若对任意的正实数x，都有2f（x）+xf'（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f

（1）

A．（-∞,-1）∪（1,+∞）B．（-1,1）C．（-1,0）∪（0,1）D．{x|x≠±1}

4．已知函数fx定义在数集（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x>0时恒有xf/x>-fx，且f2=0，则不等式fx>0的解集为（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-∞，-2）∪（0，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）

5．定义在-1,+∞上的函数fx满足f'x<1+cosx，f0=1，则不等式fx>sinx+x+1的解集为（）

A．-∞,0B．-1,0C．0,+∞D．-1,1

6．设定义在R上的函数y=fx满足任意x∈R都有fx+2=-fx，且x∈0,4时，有f'x

A．2f2018f2016>4f2017

C．4f2017>2f2018>f2016D．4f2017<2f2018

7．已知偶函数f（x）满足2f（x）+xf'（x）>6,，且f

（1）=2，则f（x）>3-1x2的解集为

A．xx<-2或x>2B．x-1

C．xx<-1或x>1D．x-2

8．定义在R上的函数f（x）满足：

f（x）>1-f'（x）,f（0）=0,f'（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）>ex-1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）

A．（-∞,-1）∪（0,+∞）B．（0,+∞）C．（-∞,0）∪（1,+∞）D．（1,+∞）

9．已知定义在R上的函数y=fx的导函数为f'x，满足fx>f'x，且f0=2，则不等式fx>2ex的解集为（）

A．-∞,0B．0,+∞C．-∞,2D．2,+∞

10．定义在0,+∞上的函数f（x）满足xf'x+1>0,f

（2）=-ln2，则不等式fex+x>0的解集为

A．0,2ln2B．0,ln2C．ln2,+∞D．ln2,1

11．已知定义在（0,+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）-f（x）<0，其中f'（x）是函数f（x）的导函数．若2f（m-2018）>（m-2018）f

（2），则实数m的取值范围为（）

A．（0,2018）B．（2018,+∞）C．（2020,+∞）D．（2018,2020）

12．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f（x）>f′（x），则有（）

A．e2017f（－2017）e2017f（0）B．e2017f（－2017）

C．e2017f（－2017）>f（0），f（2017）>e2017f（0）D．e2017f（－2017）>f（0），f（2017）

13．已知可导函数f（x）的定义域为（-∞,0），其导函数f'（x）满足xf'（x）-2f（x）>0,则不等式f（2017+x）-（x+2017）2f（-1）<0的解集为

A．（-∞,-2018）B．（-2018,-2017）C．（-2018,0）D．（-2017,0）

14．函数f（x）是定义在区间（0,+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足xf'（x）+2f（x）>0，则不等式（x+2018）2f（x+2018）<16f（4）的解集为（）

A．x|x>-2017B．x|x<-2017

C．x|-2018

15．已知函数y=fx的导数是y=f'x，若∀x∈0,+∞，都有xf'x<2fx成立，则（）

A．2f3>3f2B．2f1

C．4f3<3f2D．4f1>f2

16．已知函数f（x）满足条件：

当x>0时，f（x）+12xf'（x）>1，则下列不等式正确的是（）

A．f1+3>4f2B．f2+3>4f4

C．f1+8<9f3D．f2+4<3f4

17．定义在（0,π2）上的函数f（x），f'（x）是它的导函数，且恒有f'（x）>f（x）·tanx成立.则有（）

A．2f（π4）>f（π3）B．3f（π6）>2cos1⋅f

（1）

C．2f（π4）<6f（π6）D．3f（π6）

18．已知函数g（x）是偶函数，f（x）=g（x-2），且当x≠2时其导函数f'（x）满足（x-2）f'（x）>0，若1

A．f（4a）

19．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x>0时，lnx⋅f'（x）<-1xf（x），则使得（x2-4）f（x）>0成立的x的取值范围是（）

A．（-2,0）∪（0,2）B．（-∞,-2）∪（2,+∞）C．（-2,0）∪（2,+∞）D．（-∞,-2）∪（0,2）

试卷第3页，总3页

参考答案

1．B

【解析】【分析】

构造函数g（x）=f（x）ex，则得g（x）的单调性，再根据f（x）+2018为奇函数得g（0），转化不等式为g（x）

【详解】

构造函数g（x）=f（x）ex，则g'（x）=f'（x）-f（x）ex<0，所以g（x）在R上单独递减，

因为f（x）+2018为奇函数，所以f（0）+2018=0∴f（0）=-2018,g（0）=-2018.

因此不等式f（x）+2018ex<0等价于g（x）0，选B.

【点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：

如f'（x）

2．A

【解析】分析：

构造函数gx=fxx，首先判断函数的奇偶性，利用f'（x）

详解：

设gx=fxx，

则gx的导数为g'x=xf'x-fxx2，

因为x<0时，f'（x）

即xf'x>fx成立，

所以当x<0时，g'x恒大于零，

∴当x<0时，函数gx=fxx为增函数，

又∵g-x=f-x-x=fxx=gx，

∴函数gx为定义域上的偶函数，

当x>0时，函数gx=fxx为减函数，

又∵g-1=f-1-1=0

∴函数gx的图象性质类似如图，

数形结合可得，不等式fx>0⇔x⋅gx>0，

⇔x>0gx>0或x<0gx<0，

可得0

使得f（x）>0成立的x的取值范围是（-∞,-1）∪（0,1），故选A.

点睛：

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：

①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

3．A

【解析】

【详解】

分析：

构造新函数g（x）=x2f（x）-x2，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．

详解：

设g（x）=x2f（x）-x2，则g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）-2x=x（2f（x）+xf'（x）-2），由已知当x>0时，g'（x）=x（2f（x）+xf'（x）-2<0，∴g（x）在（0,+∞）上是减函数，又∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）-x2也是偶函数，g（0）=0，

不等式x2f（x）-f

（1）

（1）-1，即g（x）

（1），

∴g（x）

（1），∴x>1，即x<-1或x>1．

故选A．

点睛：

本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如g（x）=xf（x），g（x）=f（x）x，g（x）=exf（x），g（x）=f（x）ex等等．

4．B

【解析】分析：

设g（x）=f（x）x，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.

详解：

设g（x）=f（x）x，所以g'（x）=xf'（x）-f（x）x2，

因为当x>0时，有xf'（x）-f（x）>0恒成立，

所以当x>0时g'（x）>0，所以g（x）在（0,+∞）上递增，

因为f（-x）=f（x），所以g（-x）=f（-x）-x=-g（x），所以g（x）是奇函数，

所以g（x）在（-∞,0）上递增，因为f

（2）=0，所以g

（2）=f

（2）2=0，

当x>0时，f（x）>0等价于f（x）x>0，所以g（x）>0=g

（2），所以x>2，

当x<0时，f（x）>0等价于f（x）x<0，所以g（x）<0=g（-2），所以x<-2，

所以原不等式的解集为（-∞,-2）∪（2,+∞），故选B.

点睛：

该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求x<0时的情况的时候，可以直接根据函数f（x）是偶函数求得结果.

5．B

【解析】分析：

根据题意，设gx=fx-sinx-x，对其求导分析可得gx在区间-1,+∞上递减，利用f0的值可得g0的值，进而将原不等式转化为gx>g0，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.

详解：

根据题意，设gx=fx-sinx-x，

则g'x=f'x-cosx-1，

又由函数fx定义在-1,+∞上，且有f'x<1+cosx，

则g'x=f'x-cosx-1<0，则gx在区间-1,+∞上递减