已知函数f（x）＝ax3－3x＋1对x∈（0,1]总有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [4，＋∞）
解析 当x∈（0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为
a≥，设g（x）＝，x∈（0,1]，
g′（x）＝＝－，
g′（x）与g（x）随x的变化情况如下表：
x
g′（x）
＋
0
－
g（x）
4
因此g（x）的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞）．
导数与不等式的综合问题
典例：
（12分）（2011·辽宁）设函数f（x）＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f（x）过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2.
（1）求a，b的值；
（2）证明：
f（x）≤2x－2.
（1）解 f′（x）＝1＋2ax＋.[1分]
由已知条件得即
解得[4分]
（2）证明 因为f（x）的定义域为（0，＋∞），
由
（1）知f（x）＝x－x2＋3lnx.
设g（x）＝f（x）－（2x－2）＝2－x－x2＋3lnx，
则g′（x）＝－1－2x＋＝－.[8分]
当00，当x>1时，g′（x）<0.
所以g（x）在（0,1）上是增加的，在（1，＋∞）上是减少的．[10分]
而g
（1）＝0，故当x>0时，g（x）≤0，
即f（x）≤2x－2.[12分]
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,2） B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）
C．（－3,6） D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
答案 B
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3（a＋6）>0，即a2－3a－18>0.
∴a>6或a<－3.
2．曲线y＝f（x）＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
A.e2 B．2e2 C．e2 D.
答案 D
解析 ∵点（2，e2）在曲线上，
∴切线的斜率k＝f′
（2）＝e2，
∴切线的方程为y－e2＝e2（x－2），即e2x－y－e2＝0.
与两坐标轴的交点坐标为（0，－e2），（1,0），
∴S△＝×1×e2＝.
3．已知函数f（x）＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是 （ ）
A．m>－2 B．m≥－2
C．m<2 D．m≤2
答案 B
解析 依题意知，x>0，f′（x）＝，
令g（x）＝2x2＋mx＋1，x∈（0，＋∞），
当－≤0时，g（0）＝1>0恒成立，∴m≥0成立，
当－>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m<0，
综上，m的取值范围是m≥－2.
4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R（x）＝则总利润最大时，每年生产的产品是 （ ）
A．100 B．150 C．200 D．300
答案 D
解析 由题意得，总成本函数为C＝C（x）＝20000＋100x，
总利润P（x）＝
又P′（x）＝
令P′（x）＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P（x）最大．
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．设P为曲线C：
y＝f（x）＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是
[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．
答案
解析 设P（a，a2－a＋1），则f′（x）＝2a－1∈[－1,3]，
∴0≤a≤2.而g（a）＝a2－a＋1＝2＋，
当a＝时，g（a）min＝.当a＝2时，g（a）max＝3，
故P点纵坐标的取值范围是.
6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）．
答案 d
解析 截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，
则ω＝kbh2，
又h2＝d2－b2，
∴ω＝kb（d2－b2）＝－kb3＋kd2b，
ω′＝－3kb2＋kd2，
令ω′＝0，得b2＝，
∴b＝d或b＝－d（舍去）．
∴h＝＝d.
7．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f（m）＋f′（n）的最小值是________．
答案 －13
解析 对函数f（x）求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，
由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′
（2）＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4，f′（x）＝－3x2＋6x，
易知f（x）在（－1,0）上是减少的，在（0,1）上是增加的，
∴当m∈[－1,1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.
又∵f′（x）＝－3x2＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′（n）min＝f′（－1）＝－9.
故f（m）＋f′（n）的最小值为－13.
三、解答题（共22分）
8．（10分）设函数f（x）＝ax3－3x2（a∈R），且x＝2是y＝f（x）的极值点．
（1）求实数a的值，并求函数的单调区间；
（2）求函数g（x）＝ex·f（x）的单调区间．
解
（1）f′（x）＝3ax2－6x＝3x（ax－2），因为x＝2是函数y＝f（x）的极值点，所以f′
（2）＝0，即6（2a－2）＝0，
因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f（x）的极值点．
所以f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．
所以y＝f（x）的单调增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
单调减区间是（0,2）．
（2）g（x）＝ex（x3－3x2），g′（x）＝ex（x3－3x2＋3x2－6x）
＝ex（x3－6x）＝x（x＋）（x－）ex，
因为ex>0，所以y＝g（x）的单调增区间是（－，0），（，＋∞）；单调减区间是（－∞，－），（0，）．
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