高中数学 32立体几何中的向量方法教案 新人教A版选修21Word格式文档下载.docx

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（0<

α≤）

cos<

=或cosα=

2.斜线P0P与平面α所成的角θ

3.二面角：

设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<

>

或（如何确定？

）

典例分析：

例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：

EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦；

（3）求FH的长。

解：

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）

F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）

∵

∴

则即

（2）∴

由

（1）知

故EF与所成角的余弦值为

（3）∵H为C1G1的中点∴H（0，），又F（）

∴

即

例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A、B1、E、D1的坐标；

（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。

（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）

（2）∵

∴，

∴与所成的角的余弦值为

例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。

（1）证明：

连结AC，AC交BD于G，连结EG

依题意得A（），P（0，0，a），E（）

∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心

故点G的坐标为（）且，

∴，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB

∴PA//平面EDB

（2）证明：

依题意得B（），

又，故

∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD

（3）解：

设点F的坐标为（），，则

∴，所以，二面角C—PC—D的大小为

巩固练习：

1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。

EF//平面PAD；

（2）求证：

EF⊥CD；

（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，

平面ADE；

（2）

作业布置：

如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。

（1）设E是DC的中点，求证：

D1E//平面A1BD；

（2）求二面角的余弦值。

教学反思：

在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。

引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。

进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.

3.2立体几何中的向量方法

课前预习学案

预习目标：

1.向量的相关知识：

预习内容：

设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

学习目标：

1掌握好向量的相关知识：

1掌握向量作为工具解决立几问题的方法

学习过程：

当堂检测：

课后练习与提高

1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

2019-2020年高中数学3.2立体几何中的向量方法的学案新人教A版选修2

【学习目标】

1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;

2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决线线、线面平行与垂直等立体几何问题．

【探究新知】

一、课前准备

（预习教材P102~P104，找出疑惑之处）

复习1：

一条直线与一个平面内的__________直线平行，则该直线与此平面平行。

一条直线与一个平面内的__________直线垂直，则该直线与此平面垂直。

一个平面过另一个平面的_______，则两个平面垂直。

复习2：

设a＝，b＝，a·

b＝

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：

向量表示空间的点、直线、平面

问题：

怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

新知：

⑴点：

在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.

⑵直线：

直线的方向向量：

和这条直线平行或共线的非零向量.

⑶平面：

空间中平面的位置可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.

⑷平面的法向量：

如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.

试一试：

1.如果都是平面的法向量，则的关系.

2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是.

思考：

1.一个平面的法向量是唯一的吗？

　　2.平面的法向量可以是零向量吗？

⑸向量表示平行、垂直关系：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则　①∥∥　　　　②∥

③∥∥

※典型例题

例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，

侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，

作EF⊥PB交PB于点F.求证：

（1）PA∥平面EDB；

（2）PB⊥平面EFD；

求平面的法向量步骤：

⑴设平面的法向量为；

⑵找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；

⑶根据法向量的定义建立关于的方程组；

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.　平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

※动手试试

练1.设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：

⑴；

　　　⑵.

练2.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：

　　⑵.

练3：

在空间直角坐标系中,已知

试求平面ABC的一个法向量.※学习小结

1.空间点，直线和平面的向量表示方法

2.平面的法向量求法和线线、线面垂直的证明

【当堂检测】

1.设

分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是.

2.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是.

3.已知，下列说法错误的是（）

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

4.下列说法正确的是（）

A.平面的法向量是唯一确定的　　　　B.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

C.一条直线的方向向量是唯一确定的　D.若是直线的方向向量，，则

5.已知

，能做平面的法向量的是（）

A.B.C.D.

6．如图，在直三棱柱中，

点M是的中点，求证：

.

【课外延伸拓展】如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，

SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且。

求证：

对任意的，都有

§

3.2立体几何中的向量方法

（2）

掌握向量运算在几何中求线线角、线面角的计算方法

已知，，且，求.

已知，求平面的一个法向量

用向量求空间两异面直线所成的角

什么叫两异面直线所成的角？

范围是＿＿＿；

两向量的夹角呢？

它们之间有什么关系？

用空间向量表示空间直线（线段），然后利用公式＿＿＿＿＿＿＿求出两异面直线所成的角.

探究任务二：

用向量求直线与平面所成的角

如何用向量方法求空间直线与平面所成的角？

什么叫做直线与平面所成的角？

如右图：

PA与平面α所成的角是＿＿，θ

与β＿＿（互补或互余）

cosβ＝＿＿＿＿＿，故=________________

【应用举例】

例1如图，如图，M、N分别是棱长为2的正方体的棱、的中点．

（1）求异面直线MN与所成的角.

（2）若AC、BD相交于点为O，求AD′与平面MOD′所成的角的正弦值。

※学习小结

1.空间直线与平面所成的角用公式___________求解；

2.空间异面直线的夹角，可以转化为利用公式_____________求解.

解空间图形问题时,可以分为三步完成:

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（还常建立坐标系来辅助）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及夹角等问题；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

※当堂检测（AB班完成）

1.已知，则=.

2.已知，则的夹角为，异面直线所成的角为____。

3.若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（）

A.B.C.D.

4.正方体中棱长为，,是的中点，则为（）

【课外延伸拓展】

已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且，AB=1，M是PB的中点

（Ⅰ）证明：

面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求AM与面BMC所成角的正弦值

3.2立体几何中的向量方法（3）

1.进一步熟练求平面法向量的方法；

2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离的计算方法；

已知，试求平面的一个法向量.

什么是点到平面的距离？

探究：

点到平面的距离的求法

如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?

分析:

过作⊥于O,连结OA,则d=||=

∵⊥,

∴∥.∴cos∠APO=|cos|

∴=|||cos|=_________=________

用向量求点到平面的距离的方法：

设A空间一点到平面的距离为,平面的一

个法向量为，则=__________

在棱长为1的正方体中，

求点C′到平面的距离.

例1如图,是矩形,平面,,

分别是的中点,

求点到平面的距离.

小结：

求点到平面的距离的步骤：

⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；

⑵求平面的一个法向量的坐标；

⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；

⑷代入公式求出距离.

※当堂检测

1.在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为；

2.在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是；

3.在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是.

4．如图，正方体的棱长为2，点是棱中点，点是中点，求证：

（1）MO⊥D1B

（2）求点M到平面B1D1B的距离

如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为.

⑴试建立适当的坐标系，写出点的坐标

⑵求与侧面所成的角.

（3）若M为C1C的中点，求B1到平面MAB的距离.

3.2立体几何中的向量方法（4）

1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2.让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；

并能解决与之有关的简单问题．

写出求线线角，线面角的计算公式：

什么是二面角的平面角？

二面角的平面角，是以二面角

的棱上任意一点为端点，在两个半平面内各作一条_____于棱

的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，根据定义

知道平面角有三个特点：

（1）顶点在___上，

（2）两条边分别在两

个半平面内，与棱都_____，（3）平面角的范围______.

求二面角的平面角:

观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系：

两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角____________.

例1：

在棱长为2的正方体中，求平面与底面所成二面角的平面角正弦值大小.（）你能用几种方法求解？

例2．如图，平面，，若，求二面角的正弦值（）

1.如图，长方体中，点E,F分别在上，且,.

⑴求证：

平面;

⑵当时，求平面与平面所成的角的余弦值

2.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求二面角C-PB-D的大小