二次函数专题训练三角形周长最值问题含答案文档格式.docx

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若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．

（1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；

（3）当

（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；

9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．

（1）求直线AC与直线BC的解析式；

（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；

①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；

②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；

（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°

得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．

参考答案与试题解析

　1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

【解答】解：

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°

，

∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°

∵PE⊥BC，

∴∠PEF=90°

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，

此时P（，﹣），

∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴F（﹣，﹣），

∴PF=，

∵△PEF是等腰直角三角形，

∴EF=EP=，

∴C△PEF最大值=+．

（3）①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．

易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵M（1，﹣4），

∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），

∴m=或（舍弃），

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或．

（1）令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（2，3），

∴直线AD的解析式为：

y=x+1；

（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），

∵FH∥x轴，

∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，

∴FH的最大值为，

由直线AD的解析式为：

y=x+1可知∠DAB=45°

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°

∴FG=GH=×

=

故△FGH周长的最大值为×

2+=；

（3）①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PMQ′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过AM中点N（0，2），

∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T（1，4），从而T、M重合，

∴▱APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：

y=2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：

y=﹣x+，

∴4+p=﹣×

2+，

解得：

p=﹣，

∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×

×

PN×

AO=4×

1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：

y=﹣x+p+5，

联立，解得：

x=，y=，

∴H（，），∵H为QQ′中点，

故易得Q′（，），

由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：

y=（﹣）x+p，

将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：

=（﹣）×

+p，

整理得：

p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2×

|xM﹣xA|=2×

5×

2=10．

综上所述，▱APQM面积为5或10．

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．

∵将x=0，y=﹣4代入得：

﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（3，﹣4）．

设直线AD的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：

，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直线AD的一次项系数k=﹣1，

∴∠BAD=45°

．

∵PM平行于y轴，

∴∠AEP=90°

∴∠PMH=∠AME=45°

∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．

∴△MPH的周长的最大值=4×

（1+）=4+4．

（3）如图1所示；

当∠EGN=90°

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°

∴时，△AOC∽△EGN．

∴=，整理得：

a2+a﹣8=0．

a=（负值已舍去）．

∴点G的坐标为（，0）．

如图2所示：

∴时，△AOC∽△NGE．

∴=4，整理得：

4a2﹣11a﹣17=0．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°

如图3所示：

当∠ENG′=90°

时，

EG′=EG×

=（﹣1）×

=．

∴点G′的横坐标=．

∵≈4.03＞4，

∴点G′不在EG上．

故此种情况不成立．

综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．

（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，

∴OA=1，则A（﹣1，0），

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），

设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），

将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，

a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；

（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），

则BC=3，

∴S△BCD=×

3×

=3，

设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，

∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC

=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×

3

==3，

解得x=1或x=2，

则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；

（3）设直线AE解析式为y=kx+b，

将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：

则直线AE解析式为y=﹣x﹣，

AE==，

设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），

∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，

作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，

由△PMG∽△AEO得=，即=，

∴MG=PM=NG，

∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．

（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），

设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，

∴a=﹣1，b=1，c=2，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+2，

（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），

∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

所以x=1时，DF最大=1，

∵OB=OC，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∵DE⊥BC，DF∥y轴，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴△DEF周长的最大值为1+

（3）如图，

当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，

则DB=，DH=2，OH=1

当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，

∴，

∴DP=，

∴=，

∴PM=，DM=，

∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，

P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，

∴P（，）．

（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，

y=﹣x2+2x+3，

（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：

x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，

∴OA=OE=1，

∴∠EAO=45°

∴∠FHA=∠EAO=45°

∵FG⊥AH，

∴△FGH是等腰直角三角形，

设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），

∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），

∴FH=﹣m2+m+2，

∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×

（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+

∴△FGH的周长最大值为；

（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），

∴直线AM的解析式为y=2x+2，

∵直线l垂直于直线AM，

∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，

∵与坐标轴交于P、Q两点，

∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），

设R（1，a），

∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，

∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，

∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，

∴﹣2a=3b﹣4，①

∴PR2+QR2=PQ2，

即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，

∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②

联立①②解得：

，，

∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．

（1）将x=0代入得y=3，

∴C（0，3）．

∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），

∴D（2，3）．

把y=0代入抛物线的解析式得：

0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0）．

设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：

，解得：

k=1，b=1，

∴直线AD的解析式为y=x+1．

（2）如图1所示：

∵直线AD的解析式为y=x+1，

∴∠DAB=45°

∵EF∥x轴，EG∥y轴，

∴∠GEF=90°

，∠GFE=∠DAB=45°

∴△EFG是等腰直角三角形．

∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．

依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．

∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．

∴EG的最大值为．

∴△EFG的周长的最大值为+．

（3）存在．

①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．

∵A，D两点间的水平距离为3，

∴P，Q两点间的水平距离也为3．

∴点Q的横坐标为3或﹣3．

将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．

∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．

②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，

∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，

∴M（，）．

设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，

∴点Q的横坐标为1．

将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．

∴这时点Q的坐标为（1，4）．

综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，

∴A（﹣3，0），B（2，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：

k=，b=，

∴直线AC的解析式为y=x+．

（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．

∵PF⊥OA，PG⊥AC，

∴∠EFA=∠PGE．

又∵∠PEG=∠FEA，

∴∠EAF=∠EPG．

∵OC=，AO=3，

∴tan∠GPE=tan∠EAF=．

∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．

∴PG=PE，EG=EP．

∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．

∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．

设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，