圆锥曲线解题技巧和方法综合(全).doc

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圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：

设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：

（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0），则有。

（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0）则有

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.

典型例题给定双曲线。

过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P（x,y）为椭圆上任一点，，为焦点，，。

（1）求证离心率；

（2）求的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题

（1）求证：

直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f（t）的表达式。

（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：

“求范围，找不等式”。

或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于

（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：

“最值问题，函数思想”。

最值问题的处理思路：

1、建立目标函数。

用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；

2、数形结合，用化曲为直的转化思想；

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px（p>0），过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，

|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。

若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

M

N

Q

O

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

（6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：

求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求的取值范围；

（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面：

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

（3）充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：

上的圆的方程。

（4）充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

（5）线段长的几种简便计算方法

①充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

②结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值

③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备：

1.直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：

点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率

②点到直线的距离③夹角公式：

（3）弦长公式

直线上两点间的距离：

或

（4）两条直线的位置关系

①=-1②

2、圆锥曲线方程及性质

（1）、椭圆的方程的形式有几种？

（三种形式）

标准方程：

距离式方程：

参数方程：

（2）、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

距离式方程：

（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：

已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线

（5）、焦点三角形面积公式：

（其中）

（6）、记住焦半径公式：

（1），可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）

（3）

（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

设、，为椭圆的弦中点则有

，；两式相减得

=

2、联立消元法：

你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：

第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。

第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

解：

（1）设B（,）,C（,）,BC中点为（）,F（2,0）则有

两式作差有

（1）

F（2,0）为三角形重心，所以由，得，由得，代入

（1）得

直线BC的方程为

2）由AB⊥AC得

（2）

设直线BC方程为，得

，

代入

（2）式得

，解得或

直线过定点（0，，设D（x,y），则，即

所以所求点D的轨迹方程是。

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

分析：

本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数，整理,化繁为简.

解法一：

如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称

依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

，

设双曲线的方程为，则离心率

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

，①

②

由①式得，③

将③式代入②式，整理得

，

故

由题设得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

分析：

考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略．

解法二：

建系同解法一，，

，又，代入整理，由题设得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

5、判别式法

例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。

分析1：

解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：

过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：

把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式

直线l’在l的上方且到直线l的距离为

解题过程略.

分析2：

如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为