第14章 整式的乘除与因式分解 人教版数学八年级上册随堂练习题含答案文档格式.docx
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17.计算:
(2a2)3﹣a4a2﹣(a3)2
18.已知9an﹣6b﹣2﹣n与﹣2a3m+1b2n的积与25a4b是同类项,求m﹣n的值.
19.规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b):
如果ac=b,那么(a,b)=c.
例如:
因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:
(3,9)= ,(5,125)= ,(﹣
,
)= ,(﹣2,﹣32)= .
(2)令(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试说明下列等式成立的理由:
(4,5)+(4,6)=(4,30).
参考答案与试题解析
1.【解答】解:
(x+m)(x+3)=x2+(m+3)x+3m,
∵乘积中不含x的一次项,
∴m+3=0,
∴m=﹣3.
故选:
D.
2.【解答】解:
(a2)3=a6.
B.
3.【解答】解:
A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误;
B、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故B错误;
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C错误;
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D正确;
4.【解答】解:
(3x+a)(3x+b)=9x2+3bx+3ax+ab=9x2+3(a+b)x+ab,
∵(3x+a)(3x+b)的结果中不含有x项,
∴a+b=0,
∴a、b的关系是a+b=0;
5.【解答】解:
∵am=8,an=16,
∴am+n=am×
an=8×
16=128.
C.
6.【解答】解:
a2(﹣a)3=﹣a5.
A.
7.【解答】解:
x2y)3
=﹣
x6y3.
8.【解答】解:
∵M﹣N=(a+3)(a﹣4)﹣(a+2)(2a﹣5)=a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10=﹣a2﹣2≤﹣2<0,
∵M<N.
9.【解答】解:
A、结果是x2+5x+4,正确,故本选项不符合题意;
B、结果是m2+m﹣6,正确,故本选项不符合题意;
C、结果是y2﹣y﹣20,错误,故本选项符合题意;
D、结果是x2﹣9x+18,正确,故本选项不符合题意;
10.【解答】解:
∵(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6,
又∵(x﹣2)(x+3)=x2+px+q,
∴x2+px+q=x2+x﹣6,
∴p=1,q=﹣6.
二.填空题(共5小题)
11.【解答】解:
﹣2xy2(﹣3x3y)2=﹣2xy29x6y2=﹣18x7y4.
故答案为:
﹣18x7y4.
12.【解答】解:
原式=2x2+6xy﹣xy﹣3y2
=2x2+5xy﹣3y2.
2x2+5xy﹣3y2.
13.【解答】解:
∵x+3y=4,
∴原式=2x+3y=24=16.
16.
14.【解答】解:
[﹣3a2(﹣ab)3]3=(3a2a3b3)3=27a15b9.
27a15b9.
15.【解答】解:
(x+3)(x+a)=x2+(a+3)x+3a=x2﹣2x﹣15,
可得a+3=﹣2,
解得:
a=﹣5.
﹣5.
三.解答题(共4小题)
16.【解答】解:
原式=4a2﹣3a2+a2=2a2.
17.【解答】解:
原式=8a6﹣a6﹣a6
=6a6.
18.【解答】解:
∵9an﹣6b﹣2﹣n与﹣2a3m+1b2n的积与25a4b是同类项,
∴
.
∴m﹣n=2﹣3=
19.【解答】解:
(1)∵32=9,53=125,(﹣
)4=
,(﹣2)5=﹣32,
∴(3,9)=2,(5,125)=3,(﹣
)=4,(﹣2,﹣32)=5,
2,3,4,5;
(2)令(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,
则4a=5,4b=6,4c=30,
∵5×
6=30,
∴4a×
4b=4c,
∴4a+b=4c,
∴a+b=c,
∴(4,5)+(4,6)=(4,30).
14.2乘法公式
1.下列各式中,能用平方差公式进行计算的是( )
A.(﹣x﹣y)(x+y)B.(2x+y)(y﹣2x)
C.(2x+y)(x﹣2y)D.(﹣x+y)(x﹣y)
2.已知(x+y)2=7,(x﹣y)2=3,则x2+y2=( )
A.58B.29C.10D.5
3.下列运算正确的是( )
A.a3﹣a2=aB.(a﹣b)2=a2﹣b2
C.a3•a2=a5D.(2a+1)(2a﹣1)=2a2﹣1
4.下列算式能用平方差公式计算的是( )
A.(3a+b)(3b﹣a)B.(
﹣1)(﹣
﹣1)
C.(x﹣y)(﹣x+y)D.(﹣a﹣b)(a+b)
5.已知M=3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1),则M的个位为( )
A.1B.3C.5D.7
6.若(2a+b)2=(2a﹣b)2+( )成立,则括号内的式子是( )
A.4abB.﹣4abC.8abD.﹣8ab
7.若x﹣y=2,x2+y2=4,则x2016+y2016的值是( )
A.4B.20162C.22016D.42016
8.下列各式是完全平方式的是( )
A.16x2﹣4xy+y2B.m2+2mn+2n2
C.9a2﹣24ab+16b2D.
9.下列运算中,正确的是( )
A.a6÷
a2=a3B.(ab)3=a3b3
C.2a+3a=5a2D.(2a+b)(2a﹣b)=2a2﹣b2
10.如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积,可以验证的乘法公式是( )
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.a(a+b)=a2+abD.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
11.已知x﹣y=﹣3,x+y=2,则x2﹣y2的值为 .
12.若m﹣n=6,且m+n=4,则m2﹣n2= .
13.计算:
(3x+7y)(3x﹣7y)= .
14.用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD,如图所示,它的面积是75,其中AE=3
,空白的地方是一个正方形,那么这个小正方形的周长为 .
15.如图,两个正方形边长分别为a、b,如果a+b=7,ab=13,则阴影部分的面积为 .
16.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ;
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法① ;
方法② ;
(3)观察图②,直接写出(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
若a+b=8,ab=5,求(a﹣b)2的值.
17.如图,点M是AB的中点,点P在MB上.分别以AP,PB为边,作正方形APCD和正方形PBEF,连结MD和ME.设AP=a,BP=b,且a+b=10,ab=20.求图中阴影部分的面积.
18.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,图②是边长为m﹣n的正方形.
(1)请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形,画出示意图(要求连接处既没有重叠,也没有空隙);
(2)请用两种不同的方法列代数式表示
(1)中拼得的大正方形的面积;
(3)请直接写出(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:
若a+b=6,ab=4,求(a﹣b)2的值.
19.发现与探索
你能求(x﹣1)(x2019+x2018+x2017+…+x+1)的值吗?
遇到这样的问题,我们可以先思考一下,从简单的情形入手.先分别计算下列各式的值:
①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
②(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1;
…
由此我们可以得到:
(x﹣1)(x2019+x2018+x2017+…+x+1)= .
请你利用上面的结论,完成下面两题的计算:
(1)32019+32018+32017+…+3+1;
(2)(﹣3)50+(﹣3)49+(﹣3)48+…+(﹣3).
=﹣(x+y)2,不能用平方差公式进行计算;
=﹣(2x+y)(2x﹣y),能用平方差公式进行计算;
不能用平方差公式进行计算;
=﹣(x﹣y)2,不能用平方差公式进行计算.
已知等式整理得:
(x+y)2=x2+y2+2xy=7①,(x﹣y)2=x2+y2﹣2xy=3②,
①+②得:
2(x2+y2)=10,
则x2+y2=5,
A、两项不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、根据完全平方公式,得(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;
C、a3a2=a5,故本选项正确;
D、根据平方差公式,得(2a+1)(2a﹣1)=4a2﹣1,故本选项错误.
选项A:
没有两项完全相同,也没有两项属于相反数,故不能用平方差公式计算;
选项B:
和﹣
是相反数,﹣1和﹣1是相同项,故可以用平方差公式计算;
选项C:
x与﹣x是相反数,﹣y与y也是相反数,故不能用平方差公式计算;
选项D:
﹣a和a是相反数,﹣b和b也是相反数,故不能用平方差公式计算;
综上,只有选项B符合题意.
M=3(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷
(22﹣1)
=(24﹣1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28﹣1)(28+1)(216+1)
=(216﹣1)(216+1)
=232﹣1
∵21、22、23、24、25、…,个位分别是2、4、8、6、2、…,
∴232的个位上是6,
∴M的个位为5.
设括号内的式子为A,则
A=(2a+b)2﹣(2a﹣b)2=4a2+4ab+b2﹣(4a2﹣4ab+b2)=8ab.
∵(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2=22=4,x2+y2=4,
∴﹣2xy=0,
即xy=0,
∴要么x=0;
要么y=0,
当x=0时,y=﹣2,∴x2016+y2016=0+(﹣2)2016=22016;
当y=0时,x=2,∴x2016+y2016=22016+0=22016;
A、不是完全平方式,故本选项错误;
B、不是完全平方式,故本选项错误;
C、是完全平方式,故本选项正确;
D
、不是完全平方式,故本选项错误;
A、原式=a4,不符合题意;
B、原式=a3b3,符合题意;
C、原式=5a,不符合题意;
D、原式=4a2﹣b2,不符合题意,
图1阴影部分的面积等于a2﹣b2,
图2梯形的面积是
(2a+2b)(a﹣b)=
根据两者阴影部分面积相等,可知=a2﹣b2
比较各选项,只有D符合题意
∵x﹣y=﹣3,x+y=2,
∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=﹣3×
2=6,
﹣6.
∵m2﹣n2=(m+n)(m﹣n),m﹣n=6,且m+n=4,
∴m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=6×
4=24,
故答案为24.
(3x+7y)(3x﹣7y)=9x2﹣49y2;
9x2﹣49y2.
∵正方形ABCD的面积是75,
∴AB=5
∵AE=3
∴BE=2
∴空白小正方形的边长3
﹣2
=
∴小正方形的周长为4
;
故答案为4
根据题意得:
当a+b=7,ab=13时,S阴影=
a2﹣
b(a﹣b)=
ab+
b2=
[(a+b)2﹣2ab]﹣
ab=5.
5
(1)根据拼图可得,阴影部分是边长为(m﹣n)的正方形,
m﹣n;
(2)方法①,从大正方形中减去四个小长方形的面积,
即:
(m+n)2﹣4mn,
方法②根据正方形的面积公式直接表示小正方形的面积为(m﹣n)2
①(m+n)2﹣4mn,②(m﹣n)2;
(3)由
(2)知,(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn;
(4)由于(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
又∵a+b=8,ab=5,
∴(a﹣b)2=64﹣20=44.
∵a+b=10,ab=20,
∴S阴影部分=S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
=a2+b2﹣
a(
)﹣
b(
)
=(a+b)2﹣2ab﹣
=100﹣40﹣
=100﹣40﹣25
=35.
(1)如图所示;
(2)方法1:
大正方形的边长为(m+n),因此面积为:
(m+n)(m+n)=(m+n)2;
方法2:
大正方形的面积等于各个部分的面积和,
即边长为(m﹣n)的正方形的面积与4个长为m,宽为n的长方形的面积和,
即(m﹣n)2+4mn;
(3)(m+n)2=(m﹣n)2+4mn;
(4)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=62﹣4×
4=36﹣16=20.
(x﹣1)(x2019+x2018+x2017+…+x+1)=x2020﹣1;
x2020﹣1;
(1)原式=(3﹣1)(32019+32018+32017+…+3+1)×
(32020﹣1);
(2)原式=(﹣3﹣1)[(﹣3)50+(﹣3)49+(﹣3)48+…(﹣3)+1]×
)﹣1
×
[(﹣3)51﹣1]﹣1
+
﹣1
14.3《因式分解》
一.选择题.
1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.x2+4x+4=x(x+4)+4
C.ax2-4a=a(x2-4)
D.x2+3-4x=(x-1)(x-3)
2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是( )
A.-2xy(2x-y+1)B.2xy(-2x+y)
C.2xy(-2xy+y-1)D.-2xy(2x+y-1)
3.下列因式分解正确的是( )
A.x2-xy+x=x(x-y)B.ax2-9=a(x+3)(x-3)
C.x2-2x+4=(x-1)2+3D.a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
4.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是( )
A.(a-2)(m2+m) B.m(a-2)(m+1)
C.m(a-2)(m-1)D.(2-a)(m2+m)
5.代数式(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2可以写成( )
A.(a-3b+3c)2B.(a-3b-2c)2
C.(a+3b+2c)2D.(a+3b-2c)2
6.若a为实数,则a2(a2-1)-a2+1的值( )
A.非正数B.恒为正数C.恒为负数D.非负数
7.多项式①4x2-x;
②(x-1)2-4(x-1);
③1-x2;
④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是( )
A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③
8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
二.填空题.
9.因式分解:
mn2-9m=____.
10.若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是____.
11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为____.
12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·
(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=____.
13.多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是__.
14.若9x2+kxy+4y2是完全平方式,则k=__.
三.解答题.
15.已知m+n=3,求2m2+4mn+2n2-6的值.
16.分解因式:
(a-b)2-4(a-b-1).
17.若|x-m|+
=0,把多项式x2n-y2m分解因式(用m,n表示).
18.
(1)化简:
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2;
(2)利用
(1)题的结论,且a=2018x+2019,b=2018x+2020,c=2018x+2021,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
19.请阅读以下材料,并解决相应的问题:
材料一:
换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在解某些特殊方程时,使用换元法常常可以达到转化与化归的目的,例如在求解一元四次方程x4-2x2+1=0时,令x2=t,则原方程可变为t2-2t+1=0,解得t=1,从而得到原方程的解为x=±
1.
材料二:
杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列.如图为杨辉三角形:
(1)利用换元法解方程:
(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3;
(2)在杨辉三角形中,按照由上至下、从左到右的顺序观察,设an是第n行的第2个数(其中n≥4),bn是第n行的第3个数,cn是第(n-1)行的第3个数.请利用换元法因式分解:
4(bn-an)·
cn+1.
《因式分解》知识点复习能力提升专题练(解析版)
1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( D )
2.分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是( A )
3.下列因式分解正确的是( D )
4.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是( C )
5.代数式(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2可以写成( B )
6.若a为实数,则a2(a2-1)-a2+1的值( D )
④-4x2-1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是( D )
8.若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( D )
mn2-9m=__m(n-3)(n+3)__.
10.若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是_15___.
11.如图,长宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为__290__.
(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=__-31___.
13.多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是-4x4
14.若9x2+kxy+4y2是完全平方式,则k=__±
12.
15.已知m+n=3,求2m2+4mn+2n2-6的值.
【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.
∵m+n=3,
∴2(m+n)2-6=2×
32-6=12.
【解析】原式=(a-b)2-4(a-b)+4
=(a-b-2)2.
17.若|x-m|+
【解析】由|x-m|+
=0,可得x=m,y=n,
x2n-y2m=m2n-n2m=mn(m-n).
(2)利用
(1)题的结论,且a=2018x+20