函数的基本性质知识点总结.doc

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函数的基本性质

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数。

如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也

一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f（－x）与f（x）的关系；

③作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.单调性

（1）定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

（3）设复合函数y=f[g（x）]，其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g:

x→u=g（x）的象集：

①若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是增函数；

②若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。

④若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.

3.函数的周期性

如果函数y＝f（x）对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则称函数f（x）是周期函数，T是它的一个周期.

性质：

①如果T是函数f（x）的周期，则kT（k∈N＋）也是f（x）的周期.

②若周期函数f（x）的周期为T，则（）是周期函数，且周期为。

③若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.

例题：

1.的递减区间是；的单调递增区间是。

2.函数的图象（）

A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线对称

3.设是定义在上的奇函数，若当时，，则。

4.定义在上的偶函数满足，若在上递增，则（）

A.B．C．D．以上都不对

5.讨论函数的单调性。

6.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。

7.已知函数的定义域为N，且对任意正整数，都有。

若，求。

习题：

题型一：

判断函数的奇偶性

1.以下函数：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5），（6）；其中奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是。

2.已知函数=,那么是（）

A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数

题型二：

奇偶性的应用

1.已知偶函数和奇函数的定义域都是（-4,4）,它们在上的图像分别如

图（2-3）所示，则关于的不等式的解集是_____________________。

2.已知，其中为常数，若，则____3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）

A.B.C.D.

4.已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的

解析式为。

5.若是偶函数,且当时,,则的解集是（）

A.B.C.D.

题型三：

判断证明函数的单调性

1.判断并证明在上的单调性

2.判断在上的单调性

题型四：

函数的单调区间

1.求函数的单调区间。

2.下列函数中，在上为增函数的是（）

A.B.C.D.

3.函数的一个单调递增区间是（）

A.B.C.D.

4.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）

A.y=-3x+1B.y=|x+2|C.y=D.y=x2-4x+3

5.函数y=的递增区间是（）

A.（-∞，-2）B.[-5，-2]C.[-2，1]D.[1，+∞）

题型五：

单调性的应用

1.函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（）

A.[3，+∞）B.（-∞，-3]C.{-3}D.（-∞，5]

2.已知函数f（x）=2x2-mx+3，当x∈（-2，+∞）时是增函数，当x∈（-∞，-2）时是减函数，则f

（1）等于（）

A.-3B.13C.7D.由m而决定的常数．

3.若函数在R上单调递增，则实数a,b一定满足的条件是（）

A．B. C． D．

4.函数恒成立，则b的最小值为。

5.已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f

（2）=0，解不等式f［log2（x2+5x+4）］≥0。

题型六：

周期问题

1.奇函数以3为最小正周期，，则为（）

A.3B.6C.-3D.-6

2.设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在（0,3）内单调递增，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（　　）

A.f（1.5）

C.f（6.5）

3.已知为偶函数,且,当时,,则（）

A．2006B．4C．D．

4.设是上的奇函数，，当时，，则等于_____

5.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（x＋m）＝－f（x）,求证:

2m是f（x）的一个周期.

6、已知函数f（x）对任意实数x,都有f（m＋x）＝f（m－x），且f（x）是偶函数,

求证:

2m是f（x）的一个周期.

7、函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（－1）＝3，对任意的x∈R，均有f（x＋4）＝f（x）＋f⑵，求f（2001）的值.

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