函数方程与零点(精).wps

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第1页共10页函数的零点函数的零点.【高考考情解读】常考查：

1.结合函数与方程的关系，求函数的零点2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断3.判定函数零点（方程的根）所在的区间4.利用零点（方程实根）的存在求相关参数的值或取值范围高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主

（1）函数与方程的关系：

函数f（x）有零点方程f（x）0有根函数f（x）的图象与x轴有交点f（x）与g（x）有交点f（x）=g（x）函数F（x）f（x）g（x）的零点就是方程f（x）g（x）的根，即函数yf（x）的图像与函数yg（x）的图像交点的横坐标

（2）函数f（x）的零点存在性定理：

如果函数f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使f（c）0.注：

如果函数f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f（x）在区间a，b上是一个单调函数，那么当f（a）f（b）0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内不一定没有零点如果函数f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f（x）在区间（a，b）内有零点时不一定有f（a）f（b）0.（3）判定函数零点的方法:

解方程法；利用零点存在性定理判定；数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解（2013重庆）若abc，则函数f（x）（xa）（xb）（xb）（xc）（xc）（xa）的两个零点分别位于区间（）A（a，b）和（b，c）内B（，a）和（a，b）内C（b，c）和（c，）内D（，a）和（c，）内

（2）函数f（x）Error!

Error!

的零点个数是（）A0B1C2D3第2页共10页答案

（1）A

（2）D解析

（1）由于ab0，f（b）（bc）（ba）0.因此有f（a）f（b）0，f（b）f（c）0时，在同一个直角坐标系中分别作出ylnx和yx22x（x1）21的图象，可知它们有两个交点；当x0时，作出y2x1的图象，可知它和x轴有一个交点综合知，函数yf（x）有三个零点

（1）函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解

（2）提醒：

函数的零点不是点，是方程f（x）0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数yf（x）的图象与x轴的交点的横坐标

（1）（2012天津）函数f（x）2xx32在区间（0,1）内的零点个数是（）A0B1C2D3

（2）已知函数f（x）axxb的零点x0（n，n1）（nZ），其中常数a、b满足2a3,3b2，则n_.答案

（1）B

（2）1解析

（1）先判断函数的单调性，再确定零点因为f（x）2xln23x20，所以函数f（x）2xx32在（0,1）上递增，且f（0）10210，所以有1个零点

（2）f（x）axxb的零点x0就是方程axxb的根设y1ax，y2xb，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x1时，y11alog32y21b1log32，1x00，n1.（2013青岛模拟）函数f（x）log2x1x的零点所在的区间为（）A（0,1）B（1,2）C（2,3）D（3,4）解答由f

（1）10可得f（x）在（1,2）内必有零点答案B第3页共10页2.若函数f（x）Error!

Error!

则函数F（x）xf（x）1的零点的个数为（）A4B5C6D7解答据题意，函数F（x）xf（x）1的零点个数可转化为函数yf（x）与函数y1x图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：

由图可知共有6个交点，故函数F（x）xf（x）1的零点个数为6.答案C（2013武汉模拟）定义运算M：

xyError!

Error!

设函数f（x）（x23）（x1），若函数yf（x）c恰有两个零点，则实数c的取值范围是（）A3，2）B3，23，）C2,2D（3，2）2，）解答由x23x1解得x1或x2，所以f（x）Error!

Error!

函数yf（x）c恰有两个零点，即函数yf（x），yc的图像恰有两个交点，作出函数yf（x），yc的图像如图，由图可知3c2或c2时，两个图像有两个不同的交点，故实数c的取值范围是（3，2）2，）答案D3函数f（x）2x2xa的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）A（1,3）B（1,2）C（0,3）D（0,2）解析：

函数f（x）有一个零点在（1,2）内，f

（1）f

（2）0，即a（3a）0，0a0时，函数yff（x）1的零点个数为（）A1B2C3D4解析：

结合图像分析，当k0时，ff（x）1，则f（x）t1（，1k）或f（x）t2（0,1）对于f（x）t1，存在两个零点x1，x2；对于f（x）t2，存在两个零点x3，x4，共存在4个第4页共10页零点（2013潍坊模拟）函数f（x）Error!

Error!

若函数yf（x）kx有三个零点，则k的取值范围为_考题揭秘本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力审题过程第一步：

审条件题目已知函数f（x）的解析式以及函数yf（x）kx有三个零点第二步：

审结论求实数k的取值范围第三步：

建联系问题等价于函数yf（x）的图像与直线ykx有三个不同的交点规范解答显然x0是函数yf（x）kx的一个零点因此只要函数yf（x）的图像与直线ykx的图像在x0时有两个不同的交点即可又函数f（x）在（，）上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数yf（x）的图像与直线ykx有两个交点的条件即可画出函数yf（x）及ykx的图像，如图所示当直线ykx与曲线yln（x1）相切时，y1x1在x0时恰好等于1，即k1，所以直线yx与曲线yln（x1）恰好相切于坐标原点结合图像，可知只有当0k12时，函数ykx与函数yx212x的图像在（，0）上才存在交点要使yf（x）kx有三个零点，则k的值为上述两个k值的交集，故第5页共10页12k1.答案（12，1）1设方程3x|lg（x）|的两个根为x1，x2（x1x2），则（）Ax1x21D0x1x22解析：

在同一平面直角坐标系中画出函数y3x和y|lg（x）|的图像，可知2x11，1x20，所以0x1x22.答案：

D2当x（3,4）时，不等式loga（x2）（x3）20恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，）B（1,2C.1,21D21,0解析：

由loga（x2）（x3）20知（x3）21，数形结合可知）24（log1a（43）2，即2log1aaa1log1，故1a2，a12，故12a1.答案：

C1已知函数f（x）（13）xlog2x，实数a，b，c满足f（a）f（b）f（c）0（0abc），若实数x0为方程f（x）0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（）Ax0bCx0c答案D第6页共10页解析函数f（x）（13）xlog2x，在其定义域（0，）上是减函数，0abf（b）f（c）又f（a）f（b）f（c）0，则f（a）0，f（b）0，f（c）0，f（b）0，f（c）0.若f（a）0，f（b）0，f（c）0，则x00，f（b）0，f（c）0，则bx0c不可能成立，故选D.2若f（x）11fx1，当x0,1时，f（x）x，若在区间（1,1内，g（x）f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围是（）A0，12）B12，）C0，13）D（0，12答案D解析根据方程与函数关系设x（1,0），则x1（0,1），f（x）1fx111x11，画出f（x）在（1,1上的图象（如右图），g（x）f（x）mxm在（1,1上有两个零点，即f（x）m（x1）有两个不同根，即yf（x）与ym（x1）有两个不同交点如右图，当过（1,0）的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则0m12.1卖店函数f（x）log2x1x的零点所在的区间为（）A（0，12）B（12，1）C（1,2）D（2,3）解析函数f（x）的定义域为（0，），且函数f（x）在（0，）上为增函数f（12）log2121121230，f

（1）log2111010，第7页共10页f（3）log2313113230，即f

（1）f

（2）0，又f（0）010，则在区间（1,0）内有1个零点；又f

（2）22220，f（4）42240，故有3个零点答案3（2012湖北高考）函数f（x）xcos2x在区间0,2上的零点的个数为（）A2B3C4D5解析令f（x）xcos2x0，x0或cos2x0，即x0或2xk2，kZ.x0,2，x0，4，34，54，74，故选D.（2013天津调研）函数f（x）2xx32在区间（0,1）内的零点个数是（）A0B1C2D3思路点拨先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数解析因为f（x）2xln23x20，所以函数f（x）2xx32在（0,1）上递增又f（0）10210，f

（1）21210，所以有1个零点（2013湛江模拟）设函数yx3与y221x图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0,1）B（1,2）C（2,3）D（3,4）第8页共10页思路点拨画出两个函数的图象寻找零点所在的区间解析设f（x）x3221x，x0是函数f（x）的零点在同一坐标系下画出函数yx3与y221x的图象，如图所示f

（1）112110，f

（2）802170，f

（1）f

（2）0，又f（x）为单增函数，x0（1,2）已知函数f（x）Error!

Error!

若函数g（x）f（x）m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析在坐标系内作出函数f（x）Error!

Error!

的图象，如右图所示，发现当0m0，不成立，所以选D.3函数f（x）2x2xa的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（）A（1,3）B（1,2）C（0,3）D（0,2）解析因为f（x）2xln22x20，所以f（x）是增函数，由条件可知f

（1）f

（2）0，即（22a）（41a）0，即a（a3）0，解之得0a0）的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A3,6,9B6,9,12C9,12,15D6,12,15答案B解析令f（x）|x26x|，作图象如下：

知f（x）|x26x|的图象关于直线x3对称，它与直线ya交点的个数为2,3或4个所以方程根的和为6,9,12.选B.10已知函数f（x）Error!

Error!

且关于x的方程f（x）xa0，有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_第10页共10页解析画出函数yf（x）与yax的图象，如图所示，所以a1.答案（1，）