函数奇偶性的六类经典题型.doc

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奇偶性

类型一：

判断奇偶性

[例1]判断下列函数奇偶性

（1）（且）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：

（1）且

∴奇函数

（2），关于原点对称

∴奇函数   

（3），关于原点对称 

   ∴既奇又偶

（4）考虑特殊情况验证：

  ；     无意义  ； ∴非奇非偶

（5）且，关于原点对称 

∴为偶函数

类型二：

根据奇偶性求解析式

1.函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝＋1，则当x<0时，f（x）＝________.

解析：

∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）＝＋1，

∴当x<0时，－x>0，

f（x）＝－f（－x）＝－（＋1），

即x<0时，f（x）＝－（＋1）＝－－1.

答案：

－－1

2.求函数的解析式

（1）为R上奇函数，时，，

解：

时，

  ∴

∴

（2）为R上偶函数，时，

解：

时，

∴

类型三：

根据奇偶性求参数

1.若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=

【解题指南】f（x）=xln（x+）为偶函数，即是奇函数，利用确定的值.

【解析】由题知是奇函数，

所以=，解得=1.

答案：

1.

2.函数f（x）＝为奇函数，则a＝______.

解析：

由题意知，g（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，∴a＝－1.

答案：

－1

3.已知f（x）＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝（　　）

A.　　　　　　　 　B．－1

C．1 D．7

解析：

选A　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又f（x）为偶函数，所以3a（－x）2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝.

4.若函数f（x）＝－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______.（特殊值法）

解析：

由题意知，函数f（x）＝－|x＋a|为偶函数，则f

（1）＝f（－1），

∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.

答案：

0

5.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法）

解析：

当x>0时，－x<0，

由题意得f（－x）＝－f（x），

所以x2－x＝－ax2－bx，

从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.

答案：

0

6.

（1），为何值时，为奇函数；

（2）为何值时，为偶函数。

答案：

（1）

（恒等定理）

∴时，奇函数

（2）  

∴   （恒等定理）

∴

∴   

7.已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；（特殊值法）

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

解析：

（Ⅰ）简解：

取特殊值法

因为是奇函数，所以=0，

即

又由f

（1）=-f（-1）知

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上

为减函数

又因是奇函数，从而不等式：

等价于，

因为减函数，由上式推得：

．

即对一切有：

，从而判别式

类型四：

范围问题

1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞） B．（－1,2）

C．（－2,1） D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解析：

选C　∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－x2＋2x.作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数，由f（2－a2）＞f（a），得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

2.定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f＝0，则满足f（x）>0的x的集合为________．

解析：

由奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f＝0，得函数y＝f（x）在（－∞，0）上递增，且f＝0，

∴f（x）>0时，x>或－

即满足f（x）>0的x的集合为

.

答案：

3.已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x<0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝若f（2－x2）>f（x），则实数x的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）∪（2，＋∞）　　 　B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（1,2） D．（－2,1）

解析：

选D　设x>0，则－x<0.

∵x<0时，g（x）＝－ln（1－x），

∴g（－x）＝－ln（1＋x）．

又∵g（x）是奇函数，

∴g（x）＝ln（1＋x）（x>0），

∴f（x）＝其图象如图所示．由图象知，函数f（x）在R上是增函数．

∵f（2－x2）>f（x），∴2－x2>x，即－2

所以实数x的取值范围是（－2,1）．

4.定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log2x，则不等式f（x）＜－1的解集是__________．

　解析：

当x＜0时，－x＞0，

∴f（x）＝－f（－x）＝－log2（－x），

∴f（x）＝

∴f（x）＜－1

或或0＜x＜或x＜－2.

5.已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m－n的最小值为（　　）

A. B．2

C. D．

解析：

选A.设x＞0，则－x＜0，所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋3（－x）＋2]＝－x2＋3x－2.

所以在[1，3]上，当x＝时，f（x）max＝；当x＝3时，f（x）min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.

6.已知f（x）是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x∈（0,2]时，f（x）＝2x－1，又已知函数g（x）＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g（x2）＝f（x1），那么实数m的取值范围是____________．

解析　由题意知，当x∈[－2,2]时，f（x）的值域为[－3,3]．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g（x2）＝f（x1），所以此时g（x2）的值域要包含[－3,3]．又因为g（x）max＝g（－2），g（x）min＝g

（1），所以g

（1）≤－3且g（－2）≥3，解得－5≤m≤－2.

类型五：

奇偶性+周期性

1.f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋2）＝f（x），当x∈（0,1）时，f（x）＝2x－2，则f（6）的值等于（　　）．

A．－B．－C.D．－

解析：

f（6）

＝－f（－6）＝－f（log26）

＝－f（log26－2）

＝－（2log26－2－2）＝－

＝，故选C.

2.定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2011）的值为__________．

解析：

f（4）＝0，

∴f（x＋8）＝f（x），∴T＝8，

∴f（2011）＝f（3）＝4－3＝1.

类型六：

求值

1.已知函数f（x）是定义在（－2,2）上的奇函数，当x∈（0,2）时，f（x）＝2x－1，则f的值为（　　）

A．－2B．－C．2D.－1

解析：

当x∈（－2,0）时，－x∈（0,2），又∵当x∈（0,2）时，f（x）＝2x－1，∴f（－x）＝2－x－1，又因为函数f（x）是定义在（－2,2）上的奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝2－x－1，∴x∈（－2,0）时，f（x）＝1－.∵－2＜log2＜0，∴f（log2）＝1－＝－2.故选A.

答案：

A

2.已知f（x）为奇函数，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝3，则f

（2）＝__________.解析：

根据已知

g（－2）＝f（－2）＋9，即3＝－f

（2）＋9，即f

（2）＝6.

答案：

6

3.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝x＋ex（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为________．

由f（x）是奇函数得f（ln6）＝－f（－ln6）＝－（－ln6）－e－ln6＝ln6－.

答案：

ln6－

4.已知函数存在最大值M和最小值N,则M＋N的值为__________．

5.设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则________.

分析：

本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得，所以是奇函数，所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6.

答案是：

6.

6.已知定义域为R的函数（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

试题分析：

由已知，注意到是奇函数，，所以，所以.